Понятие дифференциала функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке , тогда согласно (5.1.4) Лекции 14 приращение в этой точке может быть представлено в виде

.

(5.13.1)

Первое слагаемое правой части приведенной формулы является бесконечно малой первого порядка, а второе слагаемое – бесконечно малой более высокого порядка , иными словами, величина является главной частью приращения , обусловленного приращением аргумента .

Определение

Дифференциалом функции y=f(x) в точке называется главная линейная часть приращения функции в этой точке: .

Поскольку , то эту формулу можно переписать в виде

.

(5.13.2)

Таким образом, дифференциалом dx независимой переменной x будем называть приращение этой переменной , т.е. соотношение (5.13.2) принимает вид

.

(5.13.3)

Из равенства (5.13.3) производную f’(x) в любой точке x можно вычислить как отношение дифференциала dy к дифференциалу независимой переменной dx:

.

(5.13.4)

Тогда равенство (5.13.1) можно переписать в виде

,

(5.13.5)

что полностью соответствует определению дифференциала функции.

Пример

Найти приращение и дифференциал функции в точке x=10 и .

Решение

Приращение функции есть

.

Дифференциал функции – dy=f’(x)dx=(4x-3)dx. При x=10, имеем 3,72 и dy=3,70. Различие между ними составляет всего 0,02 или 0,5%.

Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис 5.13.1).

Пусть точка M на графике функции y=f(x) соответствует значению аргумента , точка N – значению аргумента , MS – касательная к кривой y=f(x) в точке M, – угол между касательной и осью Ox. Тогда MA – приращение аргумента, AN – соответствующее приращение функции. Рассматривая треугольник ABM, получаем , т.е. это главная по порядку величины и линейная относительно нее часть приращения функции . Второе слагаемое в уравнении (5.13.5) более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.

Рис. 5.13.1

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Докажем инвариантность формы первого дифференциала, т.е. универсальность и применимость этой формулы в том случае, когда аргумент x сам является функцией другой переменной t.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x, а сам аргумент x является дифференцируемой функцией аргумента t, т.е. . Тогда Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. сложная функция аргумента t. В силу теоремы о производной сложной функции . Поскольку t является независимой переменной, то по форме (5.13.3) записи дифференциала для функции y получаем

(5.13.6)

Аналогично для дифференциала функции имеем . Подставляя это выражение в формулу (5.13.6) получаем , что и требовалось доказать.

Упражнения

Найти производные функций, пользуясь непосредственно определением производной:

1.		2.
3.		4.
5.		6.

Определить тангенсы углов наклона касательных к кривым:

7.		8.
9.		10.

Найти производные функций:

11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.
51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.
61.		62.
63.		64.
65.		66.
67.		68.
69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.
81.		82.
83.		84.
85.	.	86.
87.		88.
89.		90.
91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.
101.		102.
103.		104.
105.		106.
107.		108.
109.		110.

Найти производные функций, предварительно логарифмируя эти функции:

111.		112.
113.		114.

Дифференцирование неявных функций

Найти dy/dx,

115.		116.
117.		118.
119.		120.
121.		122.
123.		124.

Вычислить следующие пределы:

125.		126.
127.		128.

Найти экстремумы функций:

129.		130.
131.		132.

Найти асимптоты следующих кривых:

133.		134.
135.		136.