Матрица равновесия системы

Формирование уравнений равновесия фермы

Степени свободы системы и их нумерация

Каждый узел фермы имеет две поступательные степени свободы. Система, имеющая узлов, будет, таким образом, иметь 2n_p степеней свободы (от английского number of points).

Для каждого узла системы пронумеруем степени свободы в следующем порядке: первым будем считать перемещение по оси , вторым – по оси . Степени свободы системы в целом будем нумеровать в порядке возрастания номеров узлов. Тогда первые 2 степени свободы относятся к первому узлу, следующие 2 (с третьей по четвертую) – ко второму и т.д.

Каждой степени свободы узла поставим в соответствие одно из уравнений равновесия , и , последовательность записи которых совпадает с нумерацией степеней свободы. Очевидно, что будем иметь 2n_p уравнений равновесия. Число всех степеней свободы обозначим .

Вектор внешних узловых сил

Если по направлению –й степени свободы действует внешняя сила, то она войдет в –е уравнение равновесия. Причем сила будет иметь положительный знак, если ее направление совпадает с осью или . Если в направлении каждой степени свободы приложена соответствующая узловая сила , то вектор узловых сил имеет вид

,

(1)

где – внешние узловые усилия в направлении первой, второй и т.д. степеней свободы.

Матрица равновесия системы

Составляя уравнения равновесия узлов в последовательности, соответствующей номерам степеней свободы, получим систему уравнений равновесия конструкции в целом. Силы, действующие на узел со стороны элементов, равны по величине и противоположны по знаку узловым силам, действующим на элемент.

Поскольку узловые силы в элементах выражены через независимые усилия посредством матриц равновесия элементов, то неизвестными в уравнениях равновесия являются усилия в элементах и реакции в связях, а коэффициентами при неизвестных – компоненты матриц равновесия элементов и опорных связей. Свободными членами будут узловые внешние силы. Таким образом, система статических уравнений имеет вид

.

(2)

Матрица равновесия системы имеет блочную структуру. Деление на блоки по горизонтали связано с тем, что для каждого узла плоской системы можно составить два уравнения равновесия. Следовательно, каждому узлу соответствует блок из двух строк. Деление на блоки по вертикали связано с элементами. Число столбцов в блоке равно числу элементов фермы плюс опорные связи.

Каждый стержневой элемент соединяет два узла, поэтому усилие в нем входит в уравнения равновесия этих узлов и любому элементу в матрице равновесия соответствует всего два блока. Остальные строчки содержат нулевые элементы.

Как видно из примера, матрица равновесия системы состоит из матриц равновесия элементов в глобальной системе координат. Учитывая блочную структуру матриц, можно записать

,

(3)

где – общее число элементов и опорных связей.

В статически определимых системах число неизвестных усилий равно числу уравнений равновесия, поэтому матрица - квадратная. Если конструкция неизменяемая, то матрица равновесия невырождена и имеет обратную. Вектор усилий можно определить из решения системы уравнений (2). С помощью обратной матрицы решение можно записать:

(4)

Незаполненные элементы таблицы 1 соответствуют нулевым значениям.

Решаем систему уравнений равновесия рамы с помощью обращения матрицы.

Определяем компоненты внутренних усилий

Пример. Для фермы, изображенной на рис. 1, получить матрицу равновесия, определить усилия в стержнях и опорных связях.

Рис. 1

Основные этапы расчета следующие:

Нумеруем узлы фермы (с 1 по 5).

Нумеруем стержни фермы и опорные связи ( = 1 … 10). На примере стержней 1 (1-2) и 4 (3-1) покажем выполнение остальных пунктов.

Определяем длину стержней 1 и 4.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi
xj
x				-4		-4
yi
yj
y				-3	-3	-3	-3
l
cos				-0,8	0,8	-0,8	0,8
sin				-0,6	-0,6	-0,6	-0,6

Матрицы равновесия стержней в редуцируемой форме

;

Матрица равновесия опорной связи в пятом узле в редуцируемой форме

Матрица равновесия для всей фермы приведена в табл. 1

Таблица 1 - Матрица равновесия фермы и вектор внешних узловых сил

Номера узлов	Номера уравнений	Номера стержней
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)
		-1			0.8	-0.8
				0.6	0.6						-100
							0.8	-0.8
						0.6	0.6				-100
			-1		-0.8				-1
				-0.6					-1
				-1		0.8	-0.8
					-0.6	-0.6
								0.8
							-0.6			-1

Строки табл. 1 попарно соответствуют узлам, а столбцы – стержням, для каждого узла 2 строки, первая строка соответствует уравнению , а вторая . Незаполненные элементы таблицы соответствуют нулевым элементам матрицы и вектора

Используя обратную матрицу , определим усилия в стержнях фермы

,