Линейные неравенства. Графический метод линейного программирования
Пусть в уравнении прямой (4) знак равенства заменен знаком неравенства ³ или £ ; соответствующее множество точек M( x; y) называется полуплоскостью.
Например, линейное неравенство y ³ 2 x + 3 описывает полуплоскость, состоящую
из всех точек на или выше ( левее) прямой y = 2 x + 3 . Аналогично, x ³ 0 - это
неравенство для полуплоскости, состоящей из точек на или правее оси Oy .
Системы линейных неравенств находят применение в так называемых задачах линейного программирования. Рассмотрим конкретный (двумерный) пример.
Пример. Пусть некоторое множество состоит из всех точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе линейных неравенств ( 10.а) – (10.д).
Все точки плоскости,удовлетворяющиеданной системе неравенств, называются планами. Кроме того, задана линейная функция z = 2 x + 3 y, называемая целевой функцией. Задача ставится так: найти наибольшее значение ( максимум ) целевой функции на множестве планов. Также следует указать оптимальный план M0 ( x0 ; y0 ) , на котором целевая функция принимает максимум. ( Аналогично формулируется задача на минимум целевой функции.)
Решение задачи графическим методом. Множество всех планов состоит из точек, удовлетворяющих сразу всем 5 условиям: эти точки расположены (a) на или ниже прямой y - x =2, (б) на или ниже прямой 3 y + x = 14, (в) на или выше прямой y - 3x= -12,(г) на или правее прямой x = 0,(д)на или выше прямой y = =0. Отсюда следует, что множество планов есть выпуклый 5-угольник OA1A2A3A4. Каждая его вершинанаходится на пересечении пары прямых, ограничивающих 5-угольник. Например, на пересечении прямых y - x = 2, x = 0 находится вершина A1; на пересечении прямых y – x = 2 , 3 y + x = 14 находится вершина A2. Аналогично определяются вершины A3, A4, O.
Множество точек M(x; y), на которых целевая функция принимает некоторое постоянное значение, называется линией уровня для z. Все линии уровня представляют собой параллельные прямые, задаваемые уравнениями 2 x +3 y =c.
Рассмотрим одну из этих прямых 2 x + 3 y = 0 (здесь c=0, целеваяфункция z
также равна 0). Это прямая LO с угловым коэффициентом k = - 2 / 3.Другие линии уровня получаются параллельным перемещением прямой LO . Этот сдвиг прямой можно производить с помощью линейки. При сдвиге линейки вправо (или вверх) значение c целевой функции увеличивается. Например, прямая L1 - линия уровня, проходящая через вершину A1. Линейку можно сдвигать вправо ( или вверх) до тех пор, пока на соответствующей линии уровня находятся точки 5-угольника. В итоге достигается крайняя точка, которая и будет оптимальным планом. Это - вершина 5-угольника, характеризуемая тем, что линия уровня, проходящая через нее, не имеет общих точек с внутренностью 5-угольника. В данном случае, как видно из рисунка, эта вершина есть A3( 5; 3), координаты которой x3 = 5, y3 = 3 находятся из системы уравнений 3y + x = 14, y - 3x = -12. Значение целевой функции для этого плана есть z = 2 x3+3 y3=2 × 5 + 3 × 3 = 19. Ответ: z max = 19, оптимальный план M0 ( 5; 3 ).
Правило проверки. Существует простой числовой метод, который позволяет подобрать оптимальный план или проконтролировать правильность подобранного оптимального плана. Рассмотрим более общую целевую функцию z = a1 x +a2 y, для которой нужно найти максимум. По знакам чисел a1 , a2 уже можно указать те части границы многоугольника, где следует искать оптимальный план.
| a1> 0 , a2> 0 : П Ç В | a1> 0,a2 < 0: П Ç Н | a1 < 0 ,a2> 0: Л Ç В | a1 < 0, a2< 0: Л Ç Н |
Здесь П,Л,В,Н – это правая, левая, верхняя, нижняя части границы многоугольника. (Например, верхняя часть границы, В, состоит из всех верхних точек сечений многоугольника вертикальными прямыми.) Остановимся подробнее на двух случаях.
1-я ситуация. Пусть коэффициент a2 > 0, тогда оптимальный план является вершиной на верхней части границы многоугольника планов. В рассмотренном примере верхняя часть границы – это ломаная линия A1A2A3, выпуклая вверх. Угловые коэффициенты k12и k23 сторон A1A2 и A1A2 ломаной линии убывают при обходе верхней границы слева направо: k12 > k23 . Если угловой коэффициент k = - a1/a2 линии уровня z = c расположен на полуинтервале k ³ k12 , то вершина A1 -
оптимальный план. Если k12³ k ³ k23, то вершина A2 –оптимальный план. Если k23 ³ k, то вершина A3 – оптимальный план.
Для 1-й ситуации «правило проверки» можно сформулировать так. Пусть
линия уровня проходит через оптимальный план (-одну из вершин верхней части границы). Запишем угловые коэффициенты сторон верхней части границы и линии уровняв том порядке, как проходятся эти стороны и вершина оптимального плана при обходе верхней части границы слева направо. Если полученные числа расположились в убывающем порядке (более общо: в монотонно не возрастающем порядке), то вершина оптимального плана выбрана правильно.
2-я ситуация. Пусть коэффициент в целевой функции a1 > 0, тогда оптимальный план является вершиной на правой части границы многоугольника планов. В рассмотренном примере правая часть границы – это ломаная линия A1A2A3, выпуклая вправо. Обратные угловые коэффициенты сторон ломаной линии убывает при обходе правой границы снизу вверх. Если обратный угловой коэффициент 1/k = -a2 / a1 таков, что 1/k ³ 1/ k34, то вершина A4 – оптимальный план. Если 1/ k34 ³ 1/k ³ 1/k23, то A3 – оптимальный план. Если 1 / kBC ³ 1/ k , то A2 –оптимальный план.