Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю

Достаточность этих условий вытекает из того, что при FО=0 система сходящихся сил, приложенных в центре приведения О, эквивалентна нулю, а при МО=0 система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю.

Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что в нашем случае система сил Qи Р должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и, кроме того, должно выполняться равенство Q= –Р. Но в рассматриваемом нами случае это может быть, если линия действия силы Р проходит через точку О, т.е. если h=0. А это означает, что главный момент равен нулю (МО=0). Далее, так как Q+Р=0, а Q = FО+Р', то FО+Р'+Р=0, и следовательно, FО=0.

Итак, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы сил будут иметь вид

FО=0, МО =0 (4.15) или в проекциях на координатные оси,

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю - student2.ru (4.16)

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю - student2.ru (4.17)

Таким образом, при решении задач о равновесии пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем возможность из уравнений (4.16) и (4.17) определить шесть неизвестных величин.

Замечание. О невозможности приведения пары сил к равнодействующей.Проведем доказательство от противного. Пусть пара сил (F1,F'1) приводится к равнодействующей R, приложенной к какой-либо точке А тела. Тогда эта сила и силаR'(R'= – R), приложенная к точке А, эквивалентны нулю. На основании только что Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю - student2.ru доказанного главный вектор и главный момент этой системы должны быть равны нулю. Примем за центр приведения точку А, тогда главный момент МА≠0 и равен моменту пары (F1,F'1); главный вектор тоже не равен нулю (FА=R'≠0). Следовательно, предположение о существовании равнодействующей для пары сил несправедливо.

Уравнения равновесия для более частных систем сил могут быть получены из уравнений (4.16) и (4.17).

1. Равновесие пространственной системы параллельных сил.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю - student2.ru Направим ось z параллельно линиям действия сил. Тогда проекция сил Fk на оси х и у равны нулю (F≡0, F≡0) и остается удовлетворить только одному из уравнений группы (4.16):

FОz=ΣFkz=F1z +F2z+ … + Fпz=0. (4.18)

Во второй группе уравнений (4.17) последнее выполняется тождественно, так как силы параллельны оси z (МОz(Fk)≡0), и остаются только уравнения:

МОх =∑МОх(Fk)=МОх(F1)+ МОх(F2)+ … + МОх(Fп)=0, (4.19)

МОу =∑МОу(Fk)=МОу(F1)+ МОу(F2)+ … + МОу(Fп)=0.

2. Равновесие плоской системы сил.

Для плоской системы сил из уравнений первой группы останутся два уравнения:

FОх=ΣF=F+F+ … + Fпх=0,

FОz=ΣFkz=F1z +F2z+ … + Fпz=0. (4.20)

Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями х и у. Остается только третье уравнение:

МОz =∑МОz(Fk)=МОz(F1)+ МОz(F2)+ … + МОz(Fп)=0. (4.21)

3. Равновесие плоской системы параллельных сил.

Условие равновесия для этого частного случая следует из уравнений (4.20) и (4.21). Направим ось у параллельно линиям действия сил.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю - student2.ru

Тогда первое из уравнений (4.20) удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:

FОу=∑F=F+F+ … + Fпу=0,

МОz= ∑МОz(Fk)=МОz(F1)+ МОz(F2)+ … + МОz(Fп)=0. (4.22)

Напомним, что при составлении уравнений равновесия за центр приведения может быть выбрана любая точка.

Глава 5. Плоская система сил

Наши рекомендации