Тема 2. Элементы векторной алгебры
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Модуль вектора. Направляющие косинусы. [3, §5]. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения скалярного произведения. [3, §6]. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. [3, §7]. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения. [3, §8]. Собственные векторы и собственные значения матриц. [4, гл. V, §4].
Пример 3. Дано: 
, 
, векторы 
и 
составляют стороны параллелограмма 
. Найти: 1) длины диагоналей параллелограмма ; 2) острый угол между диагоналями параллелограмма ; 3) площадь параллелограмма .
Решение: Сделаем схематический чертеж:
1. Найдем длины диагоналей параллелограмма как длины векторов 
и 
.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, то есть 
и 
. Имеем
.
2. Острый угол между диагоналями параллелограмма найдем по формуле 
.
Находим скалярное произведение векторов 
и 
:
Значит, 
и 
.
3. Площадь параллелограмма найдем по формуле 
.
По свойствам векторного произведения имеем
Значит, 
Пример 4. Даны точки 
; 
; 
; 
. Требуется: 1) записать векторы 
, 
, 
в ортонормированном базисе; 2) найти длины векторов , , ; 3) показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства; 4) найти острый угол между векторами и ; 5) найти алгебраическую проекцию вектора на вектор ; 6) найти площадь треугольника 
; 7) найти объем пирамиды .
Решение: 1. Если 
, 
, то вектор 
.
В данном случае имеем 
.
Значит, 
, 
, 
.
2. Длина вектора 
может быть найдена по формуле 
.
Имеем 
; 
;
.
3. Покажем, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства. Для этого найдем определитель, составленный из координат этих векторов:
Так как 
, то векторы , , образуют базис трехмерного пространства.
4. Острый угол между векторами и найдем по формуле 
.
Скалярное произведение векторов и найдем, используя формулу: 
, где , 
. В данном случае 
.
Тогда 
и 
.
5. Алгебраическую проекцию вектора на вектор найдем по формуле 
.
Так как 
, то 
.
6. Площадь треугольника найдем по формуле 
.
Векторное произведение векторов и можно найти по формуле 
.
В данном случае 
Тогда 
, 
. Значит, 
.
7. Объем пирамиды найдем по формуле 
.
Смешанное произведение векторов 
, 
и 
можно найти по формуле 
.
Тогда 
. Значит, 
.
Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы 
.
Решение: Собственные значения матрицы 
находятся из уравнения 
, где 
– единичная матрица того же порядка, что и матрица .
В данном случае 
,
.
Решением уравнения 
являются числа 
, 
. Это и есть собственные значения матрицы .
Собственный вектор 
, соответствующий собственному значению 
, определяется из системы уравнений 
.
Находим собственный вектор 
, отвечающий собственному значению : 
или 
. Пусть 
, тогда 
.
Значит, 
– собственный вектор, соответствующий собственному значению .
Находим собственный вектор 
, отвечающий собственному значению : 
или 
. Пусть 
, тогда 
.
Значит, 
– собственный вектор, соответствующий собственному значению .