Элементы векторной алгебры

МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Новороссийский филиал

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой общих гуманитарных и

естественнонаучных дисциплин

___________________Г. В, Самохина

«___»_______________2012 г.

Фонд лекций

по дисциплине «Линейная алгебра»

Элементы векторного анализа

по направлению подготовки:

080100.62 «Экономика»

Общее число часов - 144;

Аудиторных часов – 54,

из них лекций – 18 часов,

семинарские и практические - 36 часов;

Часы, отводимые на самостоятельную работу – 54

Одобрено на заседании общих гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Протокол № 1 от «24» 08. 2012 г.

Преподаватель: профессор кафедры ОГ и ЕНД, к. т. н. Ю.П.Ванин

Лекция 3 по дисциплине «Линейная алгебра»

Тема . Элементы векторного анализа

Объём времени отводимого для изучения данной темы:1час 20 мин.

Место проведения:аудитория кафедры ОГ и ЕНД.

Методика проведения: лекционное изложение материала с использованием мультимедийного сопровождения.

Оборудование и ТСО:выставка литературы, проектор,персональный компьютер, комплект схем и таблиц.

Основное содержание темы:Овладение современными представлением о векторных пространствах и использование теории в задачах математики..

Основные термины и понятия:Вектор, модуль вектора, коллинеарные вектора, компланарные векторов, базис пространства, система координат.

Цели занятия:

1. Образовательная: -содействие осознанию студентами изучаемого материала.

2. Воспитательная: -воспитание дисциплинированности, ответственности, трудолюбия и работоспособности.

3. Развивающая: -развитие познавательных процессов.

План лекции

Введение

Элементы векторной алгебры.

Линейная зависимость векторов.

Система координат.

Линейные операции над векторами в координатах.

Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение векторов.

Заключение

Вопросы для самопроверки

1. Понятие вектора. Типы векторов.

2.Дейяствие над векторами.

3.Смешанное произведение.

Вопросы для самостоятельной подготовки

1. Свойство скалярного произведения

Вид систем координат

Основная литература

1. Высшая математика для экономистов. Учебное пособие для вузов /под ред.

Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. 439 с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов. /под ред. Н.Ш. Кремера. –

М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -423 с.

Дополнительная литература:

1. Красс М.С, Чупрынов Б.П.Основы математики и её приложения в экономическом образовании: учебник, -6-е издание, испр. –М.:Издательство «Дело», 2008. 720 с.

2 Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач

по высшей математике. М.: Айрис-пресс,2008. 576 с.

Введение

Линейное (векторное) пространство.

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

Эти операции обладают свойствами:

1) Коммутативность + = +

2) Ассоциативность ( + ) + = + ( + )

3)Существует такой нулевой вектор , что + = для " Î L

4) Для " Î L существует вектор = - , такой, что + =

5)1× =

6) a(b ) = (ab)

7) Распределительный закон (a + b) = a + b

8) a( + ) = a + a

Определение: Множество L, элементы которого обладают перечисленными выше свойствами, называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Свойства линейных пространств.

1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.

2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.

3) Для каждого Î L верно 0× = 0

4) Для каждого a Î R и Î L верно a× =

5) Если a× = , то a = 0 или =

6) (-1) = -

Линейные преобразования.

Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А Î L.

Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A( + ) = A +A

A(a ) = aA

Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

Пример. Является ли А линейным преобразованием. А = + ; ¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А( + ) = + + ; A( ) + A( ) = + + + , что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

Определение: Если только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Элементы векторной алгебры.

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

8) 1× =

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Определение. Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

Линейная зависимость векторов.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно a_i , т.е. .

Если же только при a_i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Система координат.

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D₁ =

;

D₂ =

D₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” можно запустить программу, которая позволит разложить любой вектор по любому новому базису, т.е. решить предыдущий пример для любых векторов , , , .

Для запуска программы дважды щелкните по значку:

В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2; z = (z₁ + z₂)/2.

Линейные операции над векторами в координатах.