ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры

Лекция № 3.

Тема:Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

План:

1. Понятие вектора. Коллинарность, компланарность векторов.

2. Линейные операции над векторами.

3. Скалярное произведение векторов

4. Векторное произведение векторов

5. Смешанное произведение векторов

1. Понятие вектора.Коллинарность, компланарность векторов.

 
Определение: Вектором называется направленный отрезок ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru с начальной точкой А и конечной точкой В.

Обозначение: ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru

Определение: Длиной или модулем вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Определение: Вектор называется нулевым, если начало и конец вектора совпадают.

Определение: Вектор единичной длины называется единичным.

Определение: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru || ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru ).

Замечание:

1.Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

2. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение: Два вектора называются равными, если они коллинеарные,

одинаково направлены и имеют одинаковые длины ( ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru = ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru )

Определение: Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях

2. Линейные операции над векторами:

Произведением вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru на число λ называется вектор ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , имеющий длину ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , направление которого совпадает с направлением вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , если λ>0, и противоположно ему, если λ<0

Противоположным вектором – ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru называется произведение вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru на число (-1), т. е. – ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru =(-1) ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru

Суммой двух векторов ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru и ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru называется вектор ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , начало которого совпадает с началом вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , а конец – с концом вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , при условии, что начало вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru совпадает с концом вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru (правило треугольников)

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма, где вектор ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru представляет собой диагональ параллелограмма

Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

Например, суммой четырех вектор ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru является вектор ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , начало которого совпадает с началом вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , а конец – с концом вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru (правило многоугольника)

Вектор ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , определяемый таким образом, представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда)

ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru

Разностью двух векторов ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru называется сумма вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru и вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , противоположного ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru (можно вычитать векторы по правилу ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru с вектором, противоположным вектору ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru )

Замечание: в параллелограмме, построенном на векторах ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru , одна направленная диагональ является суммой этих векторов, а другая – разностью.

Определение: Координатами вектора ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru называются координаты его конечной точки.

y
На плоскости Oxy координатами вектора являются числа x и y( ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru (x, y)), а в пространстве Oxyz – три числа x, y, z ( ТЕМА 2. Элементы векторной алгебры - student2.ru (x, y, z))
 

Наши рекомендации