Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами

Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором.

Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Определение. Длина отрезка Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru называется длиной или модулем вектора и обозначается Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru или Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Определение. Два ненулевых вектора Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru и Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ïê Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ­­ Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ( Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ­¯ Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ).

Определение. Два вектора Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru и Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ­­ Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , ï Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ï=ï Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ï.

Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов:

1) Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , 2) Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , 3) Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru и Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Отложить вектор Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru от точки М -значит построить вектор Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , равный вектору Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Определение. Суммой Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru векторов Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru называется вектор Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , равный вектору Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , от конца Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru вектора Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru откладываем второй вектор Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , равный вектору Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru и т.д.: суммой Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru является вектор, соединяющий начальную точку А с концом Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru последнего отложенного вектора Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Обозначение:

Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Для двух векторов Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru и Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма.

Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Определение. Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru называется вектор, обозначаемый Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru или Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е.

Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru = Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru = Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Справедливы следующие свойства умножения вектора на число:

1) Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru =l Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru +l Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ; 2) Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru =l Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru +m Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ; 3) l Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru = Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru ,

справедливые для любых чисел Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru и любых векторов Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru , Элементы векторной алгебры. Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры - student2.ru .

Наши рекомендации