Тема 3. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Вопросы по курсу «Линейная алгебра» 2016 год.
Тема 1. Матрицы и определители
1. Определение матрицы. Равенство матриц. Сумма матриц. Произведение матрицы на число. Умножение двух матриц.
2. Свойства матричных операций.
3. Перестановки из n элементов и транспозиции.
4. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Теорема об умножении определителей.
5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице.
6. Линейная комбинация строк (столбцов) матрицы. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы.
7. Элементарные преобразования матрицы. Свойства матриц, полученных с помощью элементарных преобразований. Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.
8. Ранг матрицы и его свойства. Вычисление ранга матрицы.
9. Теорема о базисном миноре.
10. Критерий линейной зависимости строк (столбцов) квадратной матрицы. Определение линейной зависимости строк (столбцов) матрицы с помощью элементарных преобразований.
Тема 2. Системы линейных уравнений
11. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Геометрический смысл линейных уравн ний. Матричная запись системы линейных уравнений. Линейные матричные уравнения. Решение системы.
12. Теорема Кронекера-Капелли.
14. Решение невырожденных линейных систем квадратной матрицей. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера.
13. Эквивалентные системы уравнений.
14. Решение произвольных линейных систем. Метод Гаусса.
15. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений и ее нахождение.
16. Общее решение неоднородной системы.
Тема 3. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
17. Векторная алгебра. Основные понятия.
18. Линейные операции над векторами: сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
19. Проекция вектора на ось, свойства проекций.
20. Ортогональный (декартовый) базис. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты точки.
21. Координаты вектора. Система координат на плоскости и в пространстве. Формула расстояния между двумя точками в координатах.
22. Условие коллинеарности векторов. Формула деления отрезка в заданном отношении.
23. Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения и их применение.
24. Выражение скалярного произведения через декартовы координаты векторов. Направляющие косинусы вектора.
25. Векторное произведение двух векторов и его свойства.
26. Выражение векторного произведения в декартовых координатах. Определение площади параллелограмма и площади треугольника с помощью векторного произведения.
27. Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах. Определение объема параллелепипеда и тетраэдра.
28. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной независимости векторов.
29. Ранг и базис системы векторов.
30. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости.
31. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
32. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве.
33. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
34. Взаимное расположение прямой и плоскости.
35. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
36. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
37. Изображение на плоскости множества решений системы линейных неравенств.
38. Кривые второго порядка и их канонические уравнения. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Свойства эллипса, гиперболы и параболы.
39. Общее уравнение кривой второго порядка. Теорема о классификации кривых второго порядка.
40. Поверхности второго порядка. Теорема о классификации квадрик.
41. Преобразование декартовых прямоугольных систем координат.