ЗАНЯТИЕ 5. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Ауд.

Л-3

гл.10: № 114, 116, 118, 120, 122,124.

☺ ☻ ☺

Пример 1–114: Найти общее решение уравнения: y=(y′)²+4(y′)³ в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)=p²+4p³.

a². Учитывая: y′= , запишем dy=φ′(p)dp, где: φ′(p)=2p+12p². Получаем уравнение для нахождения x: dx= dp=(2+12p)dp.

a³. Запишем выражение для x: x= +С=2p+6p²+С.

a³. Составляем систему: , или – параметрическое решение.

a⁴. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение y=0 – особое.

Пример 2–116: Найти общее решение уравнения: y=(y′–1)e^y′ в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p) =(p–1)e^p.

a². Учитывая: y′= , запишем dy=φ′(p)dp, где: φ′(p)=pe^p. Получаем уравнение для нахождения x: dx= dp=e^pdp.

a³. Запишем выражение для x: x= +С=e^p +С.

a⁴. Составляем систему: , или – параметрическое решение.

a⁵. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 3–118: Найти общее решение уравнения: x=y′³–y′+2 в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x=φ(p)=p³–p+2.

a². Учитывая: y′= , или dy=pdx, запишем dx=φ′(p)dp, где: φ′(p)=3p²–1. Получаем уравнение для нахождения y: dy=pφ′(p)dp=(3p³–p)dp.

a³. Запишем выражение для y: y= +С= p⁴– p²+С=μ(p)+С.

a⁴. Составляем систему: , или

a⁵. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 4–120: Найти общее решение уравнения: x=2y′–lny′ в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x=φ(p)=2p–lnp.

a². Учитывая: y′= , или dy=pdx, запишем dx=φ′(p)dp, где: φ′(p)=2– . Получаем уравнение для нахождения y: dy=pφ′(p)dp=(2p–1)dp.

a³. Запишем выражение для y: y= +С=p²–p+С=μ(p)+С.

a³. Составляем систему: , или

a⁴. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 5–122: Найти решение уравнения Лагранжа: y=x , применяя метод введения параметра.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= и ψ(y′)=0.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)= =0, его решения: p₀=–1 и p₀=1. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: а) для p₀=–1: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=–1∙x+0=–x;

б) для p₀=1: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=1∙x+0= х.

Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут эти решения особыми, или нет.

a⁴. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Запишем уравнение для вычисления x:

–x = , или – x = , или = –(x+1) .

a⁵. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x ∙ =0, или = x : уравнение с разделяющимися переменными → p = Cx.

a⁶. Cистема: легко приводится к виду → y= Cx²+ – общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: y= Cx²+ – общий интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = ±x.

Пример 6–124: Найти решение уравнения Лагранжа: y=x(y′)²+(y′)³, применяя метод введения параметра.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)=(y′)² и ψ(y′)=(y′)³.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙p²+p³.

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] . В нашем случае это равенство: p–p²=[x∙2p+3p] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)=p–p²=0, его решения: p₀=0 и p₀=1. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: а) для p₀=0: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=0∙x+0=0;

б) для p₀=1: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y=1∙x+1= х+1.

Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будут эти решения особыми, или нет.

a⁴. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = =0, или + x=– .

Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁵. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a⁶. Вычислим: – =– =–2ln|p–1|, и запишем: u= , то есть u = .

a⁸. Вычислим функцию v: v = +С= – +С = p²– p³+С.

a⁹. Запишем общее решение линейного уравнения для x:

x=u∙v= ∙ = ∙ + .

Замечание: если в последнем выражении в первой дроби выполнить операцию «выделение целой части», то выражение существенно упростится: x= –p– + .

a¹⁰. Если в выражение: y=x∙p²+p³ подставить выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= – p²+ .

a¹¹. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.

a¹². Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме. Особые решения: y=0; y =x+1.

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-3

гл.10: № 115, 117, 119, 121, 123,125, 177.

Пример 1–115: Найти общее решение уравнения: y=y′ в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)=p .

a². Учитывая: y′= , запишем dy=φ′(p)dp, где: φ′(p)= + = . Получаем уравнение для нахождения x: dx= dp=( + )dp.

a³. Запишем выражение для x: x= + +С=J₁+J₂+С. Вычислим интегралы: J₁= =[Замена:p²=t]= =[Замена: =u]= =lnp–ln(1+ ),

J₂=2 . Окончательно: x=2 +lnp–ln(1+ )+С.

a³. Составляем систему: – общее решение уравнения в параметрической форме.

a⁴. Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – общее решение в параметрической форме. Решение y=0 – особое.

Пример 2–117: Найти общее решение уравнения: y= +2xy′+x².

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=F(x,y′): не отвечает ни одной из рассмотренных.

Данное уравнение решаем, применяя алгоритм введения параметра:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y= p²+2xp+x².

a². Учитывая, что p есть функция от x, продифференцируем выражение для y по переменной x, сразу заменяя y′=p: p=(p+2x) +2p+2x, или: (p+2x)( +1)=0. (2.1)

a³. Из равенства (2.1) получаем:

▪ p= –2x → dy= –2xdx → y= –x²+С. Подставив функцию y= –x²+С в исходное уравнение, получим требование С=0. Итак, y= –x² есть решение заданного ДУ.

▪ dp= –dx → p= –x+С → dy=(С–x)→ y=Сx– . Подставив функцию y= Сx– в исходное уравнение, получим: y=Сx+ (С²–x²).

a⁴. Итак, получено общее решение: y=Сx+ (С²–x²) – семейство парабол. Частное решение: y= –x² не может быть получено из общего и потому является особым.

Ответ: y=Сx+ (С²–x²) – общее решение уравнения. Решение y= –x² – особое решение ДУ.

Пример 3–119: Найти общее решение уравнения: x=y′cosy′.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y′).

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x==φ(p)=pcosp.

a². Учитывая: y′= , или dy=pdx, запишем dx=φ′(p)dp, где: φ′(p)=cosp–psinp. Получаем уравнение для нахождения y: dy=pφ′(p)dp=p(cosp–psinp)dp.

a³. Вычислим: y= +С= – =J₁–J₂+С. Интеграл J₁ «табличный»: J₁=psinp+cosp. Применяя к J₂ «интегрирование по частям», получим выражение: J₂= –p²cosp+2 = –p²cosp+2J₁. Окончательно:

y= p²cosp–psinp–cosp +С.

a⁴. Система уравнений: определяет общее решение исходного уравнения в параметрической форме.

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 4–121: Найти общее решение уравнения: x= + в параметрической форме.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: x=φ(y,y′). Если заменить y′= , то получится уравнение: x= x′∙ y + x′² . Это уравнение Клеро! Будем считать, что мы этого не заметили, и решим его по общей схеме для уравнений, не разрешенных относительно производной.

Применим общий алгоритм введения параметра:

a¹. Примем y′=p. Тогда исходное уравнение принимает вид: x=φ(y,p)= + , причем p является функцией от y (!) через посредство x.

a². Учитывая: y′= , продифференцируем равенство x=φ(y,p) по y:

= – –2 → (2+py) =0.

a³. Из последнего получим продолжение:

а) =0 → p=С → общее решение: x=Сy+С²;

б) 2+py =0 → 2dx+ydy =0 → 4x+y²=0 – особое решение (из общего решения не получается ни при каком значении С!).

Ответ: x=Сy+С² – общее решение, 4x+y²=0 – особое решение.

Пример 5–123: Найти решение уравнения Лагранжа: y=2xy′ + , применяя метод введения параметра.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)=2y′ и ψ(y′)= .

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)= 2xp + .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)=p–2p=–p=0, его решение: p₀=0. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀), что невозможно, так как ψ(p₀) не существует.

a⁵. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = , или + x= : линейное уравнение.

Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁵. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a⁶. Вычислим: – =– =–2ln|p|, и запишем: u= , то есть u = .

a⁸. Вычислим функцию v: v = +С= 2 +С = – +С.

a⁹. Запишем общее решение линейного уравнения для x:

x=u∙v= ∙ = – .

a¹⁰. Если в выражение: y=2xp + подставить найденное выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= – .

a¹¹. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.

a¹². Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.

Пример 6–125: Найти решение уравнения Лагранжа: y= y′x+ y′lny′, применяя метод введения параметра.

Решение:

a⁰. Форма записи уравнения имеет вид: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= y′ и ψ(y′)= y′lny′.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ p+ plnp.

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] . В нашем случае это равенство: p– p = [x∙1+lnp+1] , или p=[x+lnp+1] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)=p=0, его решения: p₀=0. запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀), что невозможно, так как ψ(p₀) не существует.

a⁴. Теперь p–φ(p)≠0. Для нахождения x решим: –x = – линейное уравнение. В нашем случае: –x = =0.

Данное линейное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁵. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a⁶. Вычислим: – = =ln|p|, и запишем: u= , то есть u =p.

a⁸. Вычислим функцию v: v = +С= +С =– (lnp+2)+С.

a⁹. Запишем общее решение линейного уравнения для x:

x=u∙v=p ∙ =Cp–lnp–2.

a¹⁰. Если в выражение: y=x∙ p+ plnp подставить выражение для x, то для y получим выражение через параметр p: y= Cp²–p.

a¹¹. Составляем систему: Это решение уравнения в параметрической форме.

a¹². Пробуем исключить из системы параметр p → F(x,y,C)=0 – общий интеграл. В нашем случае «можно не пробовать»!

Ответ: – решение уравнения в параметрической форме.

Пример 5–177: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.

Решение:

В Примере 1–19 получены выражения для указанных в условии: А=(0,y–y′х) и ND =(–yy′,0).

Замечание: В условии задачи допущена некорректность. Необходимо уточнить: ОА=(0,y–y′х), |ОА|=|y–y′х|, |ND|=|yy′|, тогда условие задачи: |ОА|=|ND|.

Необходимо рассмотреть два случая:

▪ Случай-1: y–y′х = –yy′; (1)

▪ Случай-2: y–y′х = yy′. (2)

Случай-1.

a⁰. Из условия (1) запишем: y= ∙х. Форма записи уравнения имеет вид уравнения Лагранжа: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= и ψ(y′)=0.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)= =0, его решения: p₀=0. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y= 0∙x+0= 0. Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будет ли это решение особыми.

a⁴. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Уравнение для вычисления x: –x = , или – x ∙ =0, или = x уравнение с разделяющимися переменными.

a⁵. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: см. математический анализ!): = = – –ln , или в виде:

ln = – +C.

a⁶. Если учесть исходное: y=x∙ , то – = – +1. Тогда lny= – –1+C, или =C–lny – общее решение исходного уравнения.

a⁷. Учитывая начальные условия, получим: =3–lny – частное решение, для C=3.

Случай-2.

a⁰. Из условия (1) запишем: y= ∙х. Форма записи уравнения имеет вид уравнения Лагранжа: y=φ(y′)∙x+ψ(y′), где φ(y′)= и ψ(y′)=0.

Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a¹. Примем y′=p → исходное уравнение принимает вид: y=φ(p)∙x+ψ(p)=x∙ .

a². Дифференцируя последнее по x имеем: p–φ(p)=[x∙φ′(p)+ψ′(p)] .

a³. Запишем равенство: p–φ(p)= – =0, его решения: p₀=0. Учитывая p₀ ≡φ(p₀), запишем: y=φ(p₀)∙x+ψ(p₀) → y= 0∙x+0= 0. Пока не получено общее решение уравнения, мы не можем сказать, будет ли это решение особыми.

a⁴. Пусть теперь p–φ(p) ≠ 0. Уравнение для вычисления x: –x = , или + x ∙ =0, или = x уравнение с разделяющимися переменными.

a⁵. Интегрируем уравнение (предварительно разложив дробь : осуществляется по общей формуле разложения, используемой при интегрировании рациональных дробей: см. математический анализ!): = – = –ln +C, или в виде: Получаем после несложных преобразований:

ln = +C.

a⁶. Если учесть исходное: y=x∙ , то = –1. Тогда lny= +1+C, или =C+lny – общее решение исходного уравнения.

a⁷. Учитывая начальные условия, получим: =3+lny – частное решение, для C=3.

Замечание: рассмотренная задача была решена в Главе 2 приведением к форме однородного уравнения; результаты получены одинаковые, но на этот раз потребовались дополнительные «изобретательность и терпенье» для достижения «одинаковости».

Ответ: =3±lny – частный интеграл заданного уравнения. Особое решение: y = 0.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют ДУ 1-го порядка, не разрешённое относительно производной?

2. Основные типы уравнений, не разрешённых относительно производной.

3. Как вводят параметр при решении уравнения y=φ(y′)?

4. Как вводят параметр при решении уравнения x=φ(y′)?

5. Как вводят параметр при решении уравнения F(y,y′)=0?

6. Как вводят параметр при решении уравнения F(x,y′)=0?

7. Что такое «Уравнения Лагранжа»?

8. Привести пример применения ДУ для решения задачи из геометрии.

9. Привести пример применения ДУ для решения задачи из физики.

< * * * * * >