ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка.

Ауд. Л-3 гл.10: № 47, 50, 55, 56, 59, 60, 62, 177.

☺ ☻ ☺

Пример 147: Решить дифференциальное уравнение: y′ = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + sin ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Решение:

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «А» (см. Лекцию!):

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Это даёт одно из решений: y = y0 – прямая, параллельная оси ОХ.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u.

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Если оно выполняется, то одним из решений заданного уравнения является прямая: u=u0 , или прямая y=u0 x.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a5. Находим интеграл: J= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a6. Записываем результат интегрирования уравнения (1): J=lnCx. Записываем общее решение ДУ, учитывая что u = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

3). В нашем случае:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Это даёт одно из решений: y = y0 =0 – ось ОХ.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим: φ(u)=f(u)–u= u+ sinu–u= sinu.

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. У нас: sinu = 0 даёт u=u0 =πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z, которые являются решениями ДУ, то есть y=x∙πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z – семейство прямых, проходящих через начало координат XOY. При n=0 получаем найденное ранее y0 =0 – ось ОХ.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a5. Интегрируем уравнение (1): ln|tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru |= lnCx → tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cх.

a6. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = Cх.

Ответ: tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = Cх – общее решение ДУ, также: y = x∙πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z.

Пример 250: Решить дифференциальное уравнение: (x–y)dx+xdy =0.

Решение:

1). Заданное ДУ – однородное: множители при dx и dy – однородные функции 1-го порядка (одинакового!). Далее используется «стандартный алгоритм» решения уравнения, заданного в дифференциальной форме.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «В» (см. Лекцию!):

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0. Первое: f1(x,y0)=0. Это даёт одно из решений: y=y0 – прямая, параллельная оси ОХ. Второе: f2(x0,y)=0. Это даёт ещё одно из решений: x=x 0 – прямая, параллельная оси ОY.

a1. Для заданного уравнения: f1(x,y)dx+f2(x,y)dy = 0 запишем очевидное преобразование: y′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , где ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , где правая часть является однородной функцией нулевого порядка, так как f1(x,y) и f2(x,y)–однородные функции одного порядка. Здесь учтено: f2(x,y) ≠ 0.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u.

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Если оно выполняется, то одним из решений заданного уравнения является прямая: u=u0 , или прямая y=u0 x.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a5. Находим интеграл: J= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a6. Записываем результат интегрирования уравнения (1): J=lnCx. Записываем общее решение ДУ, учитывая что u = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

3). В нашем случае ДУ: (x–y)dx+xdy =0.

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0.Имеем: f1(x,y)= (x–y); f2(x,y) = x. Первое: f1(x,y0) ≠0 ни при каких y0, так как x может принимать произвольные значения! Второе условие: f2(x0,y)=0. Даёт решение: x=x0=0– ось ОY.

a1. Запишем наше уравнение в виде: y′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru : y′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru –1. Здесь учтено: f2(x,y)=x≠ 0.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u=u–1–u= –1.

a3. Проверим условие: φ(u0)=–1≠0.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, записываем уравнение: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a5. Находим интеграл: J= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =–u.

a6. Записываем результат интегрирования уравнения (1): –u=lnCx → eu =Cх. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: x∙ ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =C.

Ответ: x∙ ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =C – общее решение ДУ, также x=0 (из общего не выделяется ни при каком С).

Пример 355: Решить дифференциальное уравнение: xy′– y = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Решение:

Замечание: так как переменная может принимать как значения x>0, так и x<0, необходимо рассмотреть оба случая!

Случай-1x>0:

0). Представим ДУ в виде: y′ = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Деление на x≠0.

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «А»:

3). В нашем случае:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Их нет.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим: φ(u)=f(u)–u=u+ ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru –u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Следует: u0= ±1, или y= ±x.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a5. Интегрируем уравнение (1): arcsinu=ln|x|+C, или u=sin(ln|x|+C).

a6. Записываем общее решение. Учитывая что u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: y=xsin(ln|x|+C).

Ответ: y=xsin(ln|x|+C) – общее решение ДУ, также y= ±x (из общего не выделяется).

Случай-2x<0:

0). Представим ДУ в виде: y′ = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ruЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Деление на x≠0.

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «А»:

3). В нашем случае:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Их нет.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим: φ(u)=f(u)–u=u– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru –u= – ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Следует: u0= ±1, или y= ±x.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): – ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a5. Интегрируем уравнение (1): –arcsinu=ln|x|+C, или u=–sin(ln|x|+C).

a6. Записываем общее решение. Учитывая что u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: y=–xsin(ln|x|+C).

Ответ: y=–xsin(ln|x|+C) – общее решение ДУ, также y= ±x (из общего не выделяется).

Замечание: многие Случай-2 не выделяют (в шахматах это называют «зевок»!).

Пример 456: Решить дифференциальное уравнение: (x2 +y2)dy–2xydx=0.

Решение:

1). Признак, что задано однородное уравнение: множители при dx и dy – однородные функции 2-го порядка (одинакового!). Воспользуемся «стандартной схемой» решения.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «В» (см. 2-50):

3). В нашем случае ДУ: (x2+y2)dy–2xydx=0.

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0. Имеем: f1(x,y)= –2yx; f2(x,y)=(x2+y2). Первое дает решение: f1(x,y0)=0 при y0=0 – ось ОХ. Второе: f2(x0,y)=(x2+y2)≠0 при произвольных переменных!

a1. Запишем наше уравнение в виде: y′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Здесь теперь учтено: f2(x,y)= (x2+y2) ≠ 0 и x,y≠ 0.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a3. Так как x,y≠ 0, то φ(u)≠0.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, записываем уравнение: – ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a5. Находим интеграл: J=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ruтрудоемкий процесс!

Так как исходная запись ДУ симметрична относительно переменных, то станем искать решение ДУ в виде функции: x=x(y). Алгоритм решения остаётся (с точностью до обозначений) прежним!

a1. Запишем наше уравнение в виде: x′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Здесь теперь учтено: x,y≠ 0.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a3. Проверим условие: φ(u0)=0. Имеем u0=±1, то есть y =± x – тоже решения.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, записываем уравнение: – ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a5. Находим интеграл: J=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =–ln|u2–1|.

a6. Результат интегрирования уравнения (1): –ln|u2–1|=lnCy → (u2–1)y=C. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: y2– x2 =Cy.

Ответ: y2– x2 =Cy – общее решение ДУ, также y =± x (выделяется из общего при С=0).

Пример 559: Решить дифференциальное уравнение: (y+2)dx–(2x+y–4)dy =0.

Решение:

1). Заданное ДУ – специального вида: множители при dx и dy – линейные функции, их отношение образует специальную дробь: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Так как прямые l1: 0x+y+2=0 и l2:2x+y–4=0 пересекаются: их нормальные векторы ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(0,1) и ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(2,1) не коллинеарны, то имеем Случай-1 уравнения специального вида. Далее используется «стандартный алгоритм» для этого случая.

2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-1» (см. Лекцию!):

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0. Первое: f1(x,y0)=0. Это дает одно из решений: y=y0=–2– прямая, параллельная оси ОХ. Второе: f2(x0,y)=0 не добавляет решений: при фиксированном x=x0 переменная y остается произвольной.

a1. Учитывая, что теперь f2(x,y) ≠ 0, перепишем заданное ДУ: y′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a2. Применим преобразование: x=u+m; y=v+n, что определяет параллельный перенос системы координат XOY.

a3. Выбираем числа: m, n из системы: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Имеем: m=3, n=–2. Запишем обратное преобразование: u=x–3; v=y+2 для использования при записи окончательного выражения ответа.

a4. Запишем преобразованное уравнение: v′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru – однородное уравнение.

a5. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =z; получим выражение: φ(z)=f(z)–z=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a6. Проверим условие: φ(z0)= f(z0)– z0=0. Получаем два решения. Первое из них: прямая: z=0, или v=0, или y+2=0, то есть прямая параллельная оси ОХ. Второе решение: z+1=0, или z=–1, или v=– u, или y+x=1.

a7. Учитывая, что теперь f(z)–z≠0, запишем ДУ в виде: – ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a8. Находим интеграл: J=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a9. Записываем результат интегрирования уравнения (1): ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =lnCu. Записываем общее решение ДУ, учитывая что z= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru : → С(y+2)2=x+y–1.

Ответ: С(y+2)2=x+y–1 – общее решение ДУ, также y+2=0 и y+x=1 (выделяется из общего при значении С=0).

Пример 660: Решить дифференциальное уравнение: (x+y+1)dx–(2x+2y–1)dy =0.

Решение:

1). Заданное ДУ – специального вида: множители при dx и dy – линейные функции, их отношение образует специальную дробь: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Так как прямые l1: x+y+1=0 и l2:2x+2y–1=0 параллельны: их нормальные векторы ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(1,1) и ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(2,2) коллинеарны, то имеем Случай-2 уравнения специального вида. Далее используется «стандартный алгоритм» для этого случая.

2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-2» (см. Лекцию!):

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0. Условия: f1(x,y0)=0 и f2(x0,y)=0 не дают решений: если фиксировать одну переменную, вторая остается произвольной. Это значит, что указанные условия невыполнимы.

a1. Учитывая, что теперь f2(x,y) ≠ 0, перепишем заданное ДУ: y′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a2. Применим преобразование: u=x+y. Отсюда: y′=u′–1.

a3. Перепишем уравнение (1): u′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Заметим, что u=2 есть решение уравнения, то есть x+y =2 – одно из решений заданного ДУ.

a4. Разделим переменные в последнем уравнении: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = dx. (2)

a5. Находим интеграл: J= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =2u+3ln|u–2|. Тогда решение (2): 2u+3ln|u–2|=x+С.

a6. Учитывая u=x+y, записываем общее решение ДУ: x+2y+3ln|x+y–2|=С.

Ответ: x+2y+3ln|x+y–2|=С – общее решение ДУ, также x+y =2 (из общего не выделяется).

Пример 762: Решить дифференциальное уравнение: y′–tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Решение:

1). Заданное ДУ только слегка намекает на уравнение специального вида. Преобразуем дробь, которая является аргументом тангенса: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru –2. Теперь видим уравнение вида: y′=φ ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , то есть специального вида. Так как прямые l1: y+2=0 и l2: x+1=0 перпендикулярны: их нормальные векторы ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(0,1), ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(1,0) и скалярное произведение векторов: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ruЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =0, то имеем Случай-1 уравнения специального вида. Далее используется «стандартный алгоритм» для этого случая.

2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-1» (см. Лекцию!):

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения y′= f(x,y). Нет таких: при фиксированном y=y 0 переменная x остается произвольной.

a1. Применим преобразование: x=u+m; y=v+n, что определяет параллельный перенос системы координат XOY.

a2. Выбираем числа: m, n из системы: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Имеем: m=–1, n=–2. Запишем обратное преобразование: u=x+1; v=y+2 для использования при записи окончательного выражения ответа.

a3. Запишем преобразованное уравнение: v′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , или v′= tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru – однородное уравнение.

a4. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =z; получим выражение: φ(z)=f(z)–z=tg(z–2)+z–z= tg(z–2).

a6. Проверим условие: φ(z0)= f(z0)– z0=0. Получаем решения ДУ: z–2=πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z, то есть z=2+πn, или v=u(2+πn), или y+2=(x+1)(2+πn), или y=x(2+πn)+πn – семейство прямых. При n=0 получаем выражение: y=2x – прямая, проходящая через начало координат. Замечание: подстановка y=2x в исходное ДУ подтверждает решение!

a7. Учитывая, что теперь f(z)–z≠0, запишем ДУ в виде: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a8. Находим интеграл: J= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =ln|sin(z–2)|.

a9. Записываем результат интегрирования уравнения (1): ln|sin(z–2)|=lnCu, или с учетом z: sin ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cu. Учитывая: u=x+1; v=y+2, записываем общее решение заданного ДУ: sin ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =C(x+1).

Ответ: sin ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =C(x+1) – общее решение ДУ, также y=x(2+πn)+πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z.

Пример 8177: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3,1), если длина отрезка, отсекаемого любой её касательной на оси ординат, равна поднормали.

В Примере 118 получены выражения: отрезка А==(0,y–y′х), – отсекаемого касательной на оси ординат, ND =DN=(x,0) – (х+yy′,0) =(–yy′,0) – поднормаль.

Решение:

1). Учитывая, что точка А может располагаться с точкой М по одну сторону от оси ОХ и по разные, запишем два варианта использования исходных данных:

▪ [отрезок ОА]= [отрезок ND] → y–y′х=yy′; (1)

▪ [отрезок ОА]= – [отрезок ND] → y–y′х=–yy′. (2)

ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Случай-1.

2). Решим уравнение (1), записанное в виде: х′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru +1:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0: решение y0=0 геометрически тривиально!

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =u; получим: f(u)–u=u+1–u=1.

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Решений дополнительных нет.

a4. Учитывая, что f(u)–u≠0, запишем ДУ (1) в виде: du = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (3)

a5. Интегрируем уравнение (3): u= C+ lny.

a6. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: x= y(C+ lny), или y=С ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru – общее решение уравнения (1).

Случай-2.

3). Решим уравнение (2), записанное в виде: х′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru –1:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0: решение y0=0 геометрически тривиально!

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =u; получим: f(u)–u=u–1–u=–1.

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Решений дополнительных нет.

a4. Учитывая, что f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): –du = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (4)

a5. Интегрируем уравнение (3): –u= lny+C, или (удобнее!): u =C– lny.

a6. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: x= y(C– lny).

4). Объединим результаты решения уравнений (1) и (2): x= y(C ± lny).

5). Выделим частное решение (интегральную кривую, проходящую через точку (3,1)):

3=1(C ± ln1) → C=3 → частное решение: x= y(3± lny).

Ответ: x= y(C ± lny) – общее решение ДУ; частное решение: x= y(3± lny).

Замечание: Нетрудно заметить совпадение результатов решения задачи в Примере 800 для Случая-2 и Случая-1 рассматриваемой задачи. По общим заданным свойствам семейства представленных кривых существенно отличаются, но решения совпадают!

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома Л-3 гл.10: № 46, 51, 54, 61, 64, 173.

Пример 146: Решить дифференциальное уравнение: y′ = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Решение:

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «А» (см. Лекцию!):

3). В нашем случае:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Их нет.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим: φ(u)=f(u)–u= u+ ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru –u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Решений дополнительных нет.

a4. Учитывая, что f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): 2udu =2 ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a5. Интегрируем уравнение (1): u2= lnCx2.

a6. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: y2= x2lnCx2.

Ответ: y2= x2lnCx2 – общее решение ДУ.

Пример 251: Решить дифференциальное уравнение: y2dx+ x2dy = xydy.

Решение:

1). Заданное ДУ – однородное: множители при dx и dy – однородные функции 2-го порядка (одинакового!). Далее используется «стандартный алгоритм» решения уравнения, заданного в дифференциальной форм: y2dx+(x2–xy)dy=0.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «В» (см. Лекцию!):

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0.Имеем: f1(x,y)=y2; f2(x,y) =x2–xy. Первое: f1(x,y0)=0 при каких y0=0– ось ОХ. Второе условие: f2(x0,y)=0. Даёт решение: x=x0=0– ось ОY.

a1. Запишем наше уравнение в виде: y′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru : y′=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Здесь учтено: f2(x,y)=x≠ 0.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru –u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a3. Проверим условие: φ(u0)=0: имеем u0=0 → y=0: уже участвует согласно a0.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, записываем уравнение: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a5. Находим интеграл: J= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =u–ln|u|.

a6. Записываем результат интегрирования уравнения (1): u–ln|u|=lnCx → u=ln(Cux). Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cy.

Ответ: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cy – общее решение ДУ, также x=0, y=0 (из общего не выделяются ни при каком С).

Пример 354: Решить дифференциальное уравнение: xy′ =y+ xtg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

Решение:

0). Представим ДУ в виде: y′ = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + tg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Деление на x≠0.

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «А» (см. Лекцию!):

3). В нашем случае:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Видим: y0=0 –решение ДУ.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим: φ(u)=f(u)–u=u+tgu–u=tgu.

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Следует: u0=πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z, которые являются решениями ДУ, то есть y=x∙πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z – семейство прямых, проходящих через начало координат XOY. При n=0 получаем найденное ранее y0 =0 – ось ОХ.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a5. Интегрируем уравнение (1): ln|sinu|= lnCx.

a6. Записываем общее решение: sinu=Cx. Учитывая что u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: sin ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cx.

Ответ: sin ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cx – общее решение ДУ, также y=x∙πn, n ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Z.

Пример 461: Решить дифференциальное уравнение: (x+y–1)2dy=2(y+2)2dx.

Решение:

1). Заданное ДУ – специального вида: множители при dx и dy – линейные функции, их отношение образует специальную дробь: 2 ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Так как прямые l1: 0x+y+2=0 и l2: x+y–1=0 пересекаются: их нормальные векторы ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(0,1) и ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =(1,1) не коллинеарны, то имеем Случай-1 уравнения специального вида. Далее используется «стандартный алгоритм» для этого случая.

2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-1» (см. Лекцию!):

a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0. Первое: f1(x,y0)=0. Это дает одно из решений: y=y0=–2– прямая, параллельная оси ОХ. Второе: f2(x0,y)=0 не добавляет решений: при фиксированном x=x0 переменная y остается произвольной.

a1. Учитывая, что теперь f2(x,y) ≠ 0, перепишем заданное ДУ: y′=2 ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a2. Применим преобразование: x=u+m; y=v+n, что определяет параллельный перенос системы координат XOY.

a3. Выбираем числа: m, n из системы: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Имеем: m=3, n=–2. Запишем обратное преобразование: u=x–3; v=y+2 для использования при записи окончательного выражения ответа.

a4. Запишем преобразованное уравнение: v′= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =2 ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =2 ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru – однородное уравнение.

a5. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =z; получим выражение: φ(z)=f(z)–z=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a6. Проверим условие: φ(z0)= f(z0)– z0=0. Получаем решение: z=0, или v=0, или y+2=0, то есть прямая параллельная оси ОХ.

a7. Учитывая, что теперь f(z)–z≠0, запишем ДУ в виде: – ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . (1)

a8. Находим интеграл: J=– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =– ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =–ln|z|–2arctgz.

a9. Записываем результат интегрирования уравнения (1): –ln|z|–2arctgz=lnCu, или в более удобной форме: –2arctgz=lnCuz Записываем общее решение ДУ, учитывая что z= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru и u=x–3; v=y+2 запишем: → –2arctg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =lnC(y+2).

Ответ: –2arctg ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =lnC(y+2) – общее решение ДУ, также y+2=0 (из общего не выделяется ни при каком значении С).

Пример 564: Решить дифференциальное уравнение: xy′=yln ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , y(1)=1.

Решение:

0). Представим ДУ в виде: y′ = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru ln ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru . Деление на x≠0.

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «А» (см. Лекцию!):

3). В нашем случае:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Их нет.

a2. Примем ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = u; получим: φ(u)=f(u)–u=ulnu–u.

a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Следует: невозможно!.

a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru = ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru .

a5. Интегрируем уравнение (1): ln|lnu–1|= lnCx, или lnu–1=Cx.

a6. Записываем общее решение. Учитывая что u= ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru , получаем: ln ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cx+1.

a7. Найдем частное решение: ln ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =C1+1 → C=–1 . Частное решение: ln ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =1–x.

Ответ: Общее решение: ln ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =Cx+1; частное решение: ln ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =1–x.

Пример 6173: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемая её нормалью на 2 больше абсциссы точки касания.

В Примере 118 получены выражения: N=(х+yy′,0); – отсекаемого касательной на оси абсцисс, D =(х,0) – ординаты.

ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru Решение:

Замечание: Условие задачи предполагает равенство величин: |ON|= (x+2).

Через некоторую точку М(x,y) плоскости OXY проходит кривая y=(y) с заданными свойствами, которые могут быть определены вариантами:

▪ [отрезок ОN]= [отрезок ОD+2] → х+yy′= х+2; (1)

▪ [отрезок ОN]=–[отрезок ОD+2]→ х+yy′=–(х+2).. (2)

Случай-1.

1). Запишем уравнение (1), в виде: yy′=2:

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0: их нет!

a2. Интегрируем уравнение (1): y2=4x+C– общее решение уравнения (1): семейство парабол

a3. Определим частное решение для точки А(1,0): C= –4, получаем: y2=4(x–1).

Случай-2.

2). Решим уравнение (2), записанное в виде: yy′=–2(х+1):

a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0: их нет!

a2. Интегрируем уравнение (1): y2= –2(х+1)2+C– общее решение уравнения (2): семейство концентрических окружностей с центром в точке (–1,0).

a3. Определим частное решение для точки А(1,0): C= 8, получаем: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =1.

Ответ: Случай-1: y2=4(x–1). – частное решение; Случай-2: ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru + ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка. - student2.ru =1 частное решение.

Вопросы для самопроверки:

1. Какое уравнение называют дифференциальным?

2. Что такое решение ДУ, частное решение ДУ?

3. Что такое общее решение ДУ?

4. Что значит решить Задачу Коши?

5. Каковы стандартные формы однородных ДУ?

6. Какова стандартная схема решения однородных ДУ?

7. Какова стандартная форма уравнений, приводящихся к однородным ДУ?

< * * * * * >

Наши рекомендации