Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы

Интегрирования

2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

§ Уравнения с разделенными переменными имеют вид

Эквивалентная запись уравнения: (правая часть уравнения зависит только от х, а левая – только от у). Общее решение получается почленным интегрированием:

где С – произвольная постоянная.

П р и м е р 1. Решить уравнение .

Записав уравнение в виде и представив это как , интегрируя имеем

или у = С/х. Решением является также у = 0.

§ Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид

Делим обе части на В результате приходим к уравнению с разделенными переменными. После интегрирования получим

Замечание. При почленном делении уравнения на могут быть потеряны решения, обращающие функцию в нуль, а также решение вида х = а , где .

П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение .

Разделяем переменные Интегрируя находим Откуда

При делении на могли быть потеряны решения

2.2 Уравнение вида

Замена приводит данное уравнение к уравнению с разделенными переменными см. разд. 2.1.

2.3 Однородные уравнения и приводящиеся к ним

§ Однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении

(сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: где - произвольная постоянная Они могут быть записаны в виде

Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными см. разд. 2.1

П р и м е р 3. Решить уравнение

Подстановка приводит это уравнение к виду или Интегрируя находим и .

§ К однородному уравнению приводится уравнение

При надо перейти к новым переменным где постоянные и определяем путем решения линейной алгебраической системы

В результате для функции получим уравнение

Последнее после деления числителя и знаменателя аргумента функции f на принимает вид однородного уравнения, правая часть которого зависит только от отношения переменных

При см. уравнение из разд. 2.2.

П р и м е р 4. Решить уравнение

Находим точку пересечения прямых, полученных приравниванием к нулю числителя и знаменателя:

Откуда х₀ =1, у₀ = 2. После замены уравнение принимает вид

или

Получилось однородное уравнение, которое решается заменой В результате находим

.

Возводя в квадрат и возвращаясь к старым переменным, имеем

2.4 Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним

§ Обобщенно-однородные уравнения не меняются при одновременном

растяжении (сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: где произвольная постоянная, а k – некоторое число. Они могут быть записаны в виде

Замена и = ух^-k приводит обобщенно-однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными , см. разд. 2.1.

§ К обобщенно-однородному уравнению сводится уравнение

Для этого надо сделать замену z = e^x и положить

2.5 Линейное уравнение

Линейное уравнение первого порядка имеет вид

Решение ищем в виде произведения y = uv , где функция v = v(x) удовлетворяет «укороченному» уравнению [в качестве такой функции можно взять частное решение v = e^-F, где ]. Для функции и = и(х) получим уравнение с разделяющимися переменными Интегрируя уравнение для и , находим общее решение

где

П р и м е р 5. Решить задачу Коши:

Записываем это линейное уравнение в стандартном виде

Полагая y = u z , получим

Сгруппировав слагаемые, получим два уравнения:

и

Записываем первое в виде , откуда и = х² + 1. Подставляя это во второе уравнение, находим = 1 или v = х + C. Подставляя сюда х = 1, у = 2, получим С = 0. Решение задачи Коши имеет вид у = х(х²+1).

2.6 Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид

Подстановка z = y^1-a приводит его к линейному уравнению которое рассматривается в разд.2.5. Учитывая сказанное, получим общий интеграл

где

П р и м е р 6. Проинтегрировать уравнение

Здесь а =1/2, тогда замена у = z² приводит данное уравнение Бернулли к линейному уравнению интегрируя которое находим , следовательно .

2.7 Уравнение вида

Замена и = у / х приводит данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными см. разд. 2.1.