Тема №21. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1.Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа.

2.Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3.Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы

1.Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0.

Решение.

Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:

Корни данного уравнения равны k₁ = 1, k₂ = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:

где C₁ и C₂ − произвольные постоянные.

2.Найти общее решение дифференциального уравнения y'' − 6y' + 9y = 0.

Решение.

Вычислим корни характеристического уравнения:

Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k₁ = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой

где C₁, C₂ − произвольные действительные числа.

3.Решить дифференциальное уравнение y'' − 4y' + 5y = 0.

Решение.

Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни:

Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: k₁ = 2 + i,k₂ = 2 − i. В этом случае общее решение выражается формулой

где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

4.Решить уравнение y'' + 25y = 0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Корни этого уравнения являются чисто мнимыми:

Тогда ответ записывается в следующем виде:

где C₁, C₂ − постоянные интегрирования

5.Решить уравнение y'' + 4iy = 0.

Решение.

В данном уравнении коэффициент перед y является комплексным числом. Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными комплексными коэффициентами конструируется так же, как и в случае действительных коэффициентов. Сначала запишем характеристическое уравнение:

Определим корни уравнения:

Вычислим отдельно квадратный корень из мнимой единицы. Для этого число i удобно представить в тригонометрической форме:

Корни характеристического уравнения будут равны: