Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru -действительные постоянные.(1)

Уравнение Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru (2),полученное заменой производных Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru искомой функцией степенями Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru , называется характеристическим уравнением

уравнения (2).Каждому действительному корню Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru уравнения (2) кратностиr соответствуют r линейно независимых решений уравнения(1): Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru , а каждой паре комплексных корней Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru , кратности s соответствуют s пар линейно независимых решений :

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru

Если характеристическое уравнение имеет k действительных корней Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru кратностей Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru и l пар комплексно сопряжённых корней Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru кратностей Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru , то общее решение уравнения (1) запишется в виде

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru где Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru -произвольный многочлен степени Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru , а Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru -произвольные многочлены степени Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru = Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами - student2.ru

exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)' + anexp(lx)=
= (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем характеристического уравнения
ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:
P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней
l1 l2 ... ln,
то фундаментальная система решений состоит из функций
y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn(x) = exp(lnx),
и общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если
lk=lk+1 = ... = lk+r-1,
то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций:
yk(x) = exp(lkx),
yk+1(x) = xexp(lkx),
yk+2(x) = x2exp(lkx), ...,
yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1 ) комплексных корней
lk,k+1=ak ± ibk
в фундаментальной системе решений отвечает пара функций
yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+1(x) = exp(akx)sin(bkx).

Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то такой паре
lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk,
в фундаментальной системе решений отвечают функции
exp(akx)cos(bkx), exp(akx)sin(bkx),
xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx),
x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx),
................
xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:
записать характеристическое уравнение;
найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln;
записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x);
записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x).

Билет38

Наши рекомендации