Раздел 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Таблица 2.1. Используемые обозначения

Обозначение	Наименование
a, b,c,	Вектор
| a |, ||	Модуль вектора
ax, ay, az	Координаты вектора в декартовых координатах
r1 = (x1, y1, z1), r2 = (x2, y2, z2)	Радиус-векторы точек с координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2)
a · b, ab	Скалярное произведение
a2	Скалярный квадрат
прb a	Проекция вектора a на вектор b
a´b	Векторное произведение
^	Знак ортогональности двух векторов
||	Знак коллинеарности двух векторов
Ð	Знак угла
abc, (abc)	Смешанное произведение трех векторов

Таблица 2.2. Геометрический вектор

Наименование	Обозначение, формула
Вектор и его выражение в декартовых координатах	a = ax i + ay j + az k = (ax, ay, az)
Модуль вектора
Направляющие косинусы вектора и их свойство	; cos2a + cos2b + cos2g = 1
Сложение двух векторов	a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz)
Умножение вектора на скаляр	la = (lax, lay, laz)
Вектор с началом в точке A(x1, y1, z1) и с концом в точке B(x2, y2, z2)	= (x2- x1)i +(y2- y1) j + (z2- z1) k
Длина отрезка AB, заданного граничными точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2)	l = | r2- r1 |; l =
Условие коллинеарности двух векторов a и b (a||b)	la = b или
Проекция вектора a на вектор b	прb a = |a| cos j, j =Ð(a,b)
Деление отрезка AB в данном отношении l = AC/CB, где A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), С(x, y, z)   Частный случай: деление отрезка пополам
Длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a и b	d1,2 = | a ± b |; d1,2 =

Таблица 2.3. Скалярное произведение

Наименование	Обозначение, формула
Определение скалярного произведения двух векторов	ab = |a|×|b| cosj, j =Ð(a,b)
Таблица скалярного умножения в декартовых координатах	×	i	j	k
i
j
k
Скалярное произведение в декартовых координатах	ab = axbx + ayby+ azbz
Скалярный квадрат	a2 = |a|2 =
Свойства: 1) переместительное 2) сочетательное относительно скалярного множителя 3) распределительное	ab = ba l(ab) = (la)b = a (lb) a(b + c) = ab + ac
Условие ортогональности двух ненулевых векторов	ab = 0 a ^ b
Условие ортогональности в декартовых координатах	axbx + ayby+ azbz = 0
Приложения: 1) Угол между двумя векторами   2) Проекция вектора a на вектор b	cosj = = прb a =

Таблица 2.4. Векторное произведение

Наименование	Обозначение, формула
Определение векторного произведения двух векторов	a´b = c, |c| = |a|×|b| sin j, j =Ð(a,b), c ^ a, c ^ b (a, b, c) - правая тройка векторов
Таблица векторного умножения в декартовых координатах	´	i	j	k
i	o	k	-j
j	-k	o	i
k	j	-i	o
Векторное произведение в декартовых координатах
Свойства: 1) антипереместительное 2) сочетательное относительно скалярного множителя 3) распределительное	a´b = - b´a l(a´b) = (la)´b = a´(lb) a´(b+c) = a´b + a´c
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов	a||b
Условие коллинеарности в декартовых координатах
Приложения: 1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах 2) Площадь треугольника, две стороны которого образованы данными векторами a и b	|a´b| =   |a´b| =

Обозначения:

- миноры элементов i, j, k соответственно в определителе для

векторного произведения в декартовых координатах

Таблица 2.5. Смешанное произведение

Наименование	Обозначение, формула
Определение и обозначение смешанного произведения трех векторов	(a´b)×c = abc
Смешанное произведение в декартовых координатах
Свойства: 1) изменение знака при перестановке двух сомножителей 2) не изменяется при циклической перестановке сомножителей 3) векторы a, b, c образуют в порядке следования а) правую тройку векторов, если б) левую тройку векторов, если	abc = - acb = - cba = - bac abc = bca = cab abc > 0 abc < 0
Условие компланарности трех ненулевых векторов	abc =0 a, b, c - компланарны
Условие компланарности в декартовых координатах
Приложения: 1) Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c как на ребрах 2) Объем треугольной призмы, построенной на векторах a, b, c как на ребрах 3) Объем тетраэдра, построенного на векторах как на ребрах a, b, c	|abc| |abc| |abc|