Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке
Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке конечное число критических точек (точек, в которых производная обращается в нуль или не существует). Тогда функция на отрезке достигает своего наибольшего (соответственно, наименьшего) значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в критической внутренней точке этого отрезка. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , следует первоначально убедиться, что функция на отрезке непрерывна, а затем:
1) найти значения функции на концах отрезка, т. е. вычислить ;
2) с помощью производной найти критические точки, принадлежащие интервалу и вычислить в них значение функции;
3) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Найдем значение функции на концах отрезка:
Функция определена и непрерывна на отрезке . Найдем критические точки:
;
Отрезку принадлежит только значение х = 0. Вычислим значение функции в этой точке:
Ответ: выбор из полученных значений показывает, что наибольшим значением функции на отрезке является, а наименьшим .
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Решение. Вычислим значения функции на концах отрезка:
Определим критические точки:
Решим полученное тригонометрическое уравнение:
или
В интервал попадает лишь значение .
В интервал попадают значения
.
Найдем значения функции в критических точках:
Ответ: среди полученных значений
наибольшим является , а наименьшим будет
Замечание. При решении примера 2 были использованы формулы: ;
Пример 3. Найти значения, которые может принимать сумма квадратов действительных корней уравнения:
Решение. Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант больше нуля либо равен нулю.
Решим неравенство
Корнями уравнения или являются числа и . Неравенство выполняется на отрезке
.
Для нахождения суммы квадратов корней уравнения воспользуемся теоремой Виета, согласно которой
Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы, получим
С учетом второго уравнения имеем,
Установим, в каких пределах заключено выражение , т. е. найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Определим критические точки:
при
Вычислим значения этой функции на границах отрезка и в критической точке:
+30=
Таким образом, сумма квадратов действительных корней уравнения =0 может принимать значения, заключенные в интервале
Ответ: .
Замечание. В данном примере можно было заметить, что представлено в виде
Тогда очевидно, что наименьшим будет значение в точке а наибольшим (в силу симметрии функции относительно – значение в точке .
При решении текстовых задач на экстремум необходимо «перевести» задачу на язык функций. При этом выбрать неизвестный параметр х и выразить интересующую нас величину как функцию После чего найти наибольшее и наименьшее значения этой функции в области ее определения или на указанном отрезке.
Пример 4. Стороны прямоугольника равны 5 и 10. Через произвольную точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 12. Найти наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.
|
|
Рис. 6.1. Графическое представление задачи.
Решение. Пусть MN прямая, отсекающая прямоугольный треугольник.
Обозначим AM = x и AN = y (рис. 6.1). Нам необходимо найти наименьшее значение площади S фигуры MBCDN:
По условию задачи периметр треугольника AMN равен 12, т. е.
Выразим из данного уравнения y, отделив корень и возведя обе части уравнения в квадрат:
Запишем формулу площади искомой фигуры как функцию от х:
где
Вычислим производную данной функции:
Производная равна нулю, если Это уравнение имеет два действительных корня:
и , причем не принадлежит заданному интервалу. Получили одну точку , в которой функция имеет минимум, так как при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс. Других точек экстремума нет, значит, в точке функция принимает наименьшее значение. Найдем это значение:
Ответ:
Замечание. Поскольку наименьшее значение площади фигуры MBCDN соответствует наибольшему значению площади треугольника AMN, то задачу можно было решать относительно максимума функции на отрезке при .