Работа силы на отрезке пути равна изменению кинетической энергии материальной точки на этом отрезке

РИС. 2-3

Система K¢ движется со скоростью относительно K.

Равенство означает абсолютность времени. Это особенность классической механики вообще, когда предполагается, что - скорость передачи сигнала бесконечна.

Преобразование скоростей

РИС. 2-4

; .

Дифференцируя по времени, находим закон преобразования скоростей.

- скорость в неподвижной системе отсчета;

- скорость в движущейся системе отсчета.

Так как , то .

Подставив , получаем .

Преобразование ускорений

.

- ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

Показать самостоятельно, что расстояние между двумя точками инвариантно относительно преобразований Галилея:

(это легко сделать, если вспомнить, как определяется расстояние между двумя точками в декартовой системе.)

2-ой закон Ньютона и преобразования Галилея

Основной закон динамики (2-ой закон Ньютона) инвариантен относительно преобразований Галилея.

Рассмотрим преобразование второго закона Ньютона .

Ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

Стоящая справа сила всегда является функцией инвариантных величин: или расстояний между точками, или разности скоростей взаимодействующих частиц.

Например, упругие силы:

.

В движущейся системе координат :

Итак, 2-ой закон Ньютона (основное уравнение динамики) инвариантен относительно преобразований Галилея: .

Уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея - принцип относительности Галилея.

Обобщение: законы природы одинаковы (инвариантны) во всех ИСО.

Точнее (по Эйнштейну):

законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к какой из ИСО относятся эти изменения.

Сказанное справедливо при любых скоростях относительного движения, однако при (строго говоря, вместо знака равно нужно использовать знак приблизительно!) нужно применять уже не преобразования Галилея, а преобразования Лоренца.

Движение, впрочем, может по-разному выглядеть в различных ИСО:

РИС. 2-5

Траектория свободно падающей материальной точки :

-прямая вертикальная линия для наблюдателя в вагоне;

-парабола для внешнего наблюдателя.

Покажем продуктивность высказанных соображений; выведем, пользуясь принципом относительности Галилея, уравнение движения тела переменной массы, например ракеты или реактивного снаряда.

РИС. 2-6

Воспользуемся приближением материальной точки.

Формулировка задачи: в момент материальная точка P имеет массу ; присоединяемая (отделяемая) масса имеет скорость .

Введем инерциальную систему , скорость которой равна скорости точки в момент , т.е. точка покоится в ИСО (сопутствующая ИСО).

За интервал времени (от до ) материальная точка приобретет импульс . Этот импульс точка получает, во-первых, за счет действия внешних сил и, во-вторых, за счет присоединения (отделения) массы :

.

Поделив на , получаем

- уравнение Мещерского.

Мещерский Иван Всеволодович (1859 -1935 г.г.) – советский ученый в области теоретической и прикладной механики. В 1882 г. окончил физико-математический факультет Санкт-Петербургского университета, с 1890 г. – приват-доцент кафедры механики, с 1902 г. – заведующий кафедрой
Санкт-Петербургского, затем Ленинградского политехнического института. Основополагающие труды по механике тел переменной массы, ставшие основой решения различных проблем реактивной техники, небесной механики. Последовательно проводил в жизнь идею тесной связи теоретической и прикладной механики.

Полученное в одной конкретной инерциальной системе (сопутствующая ИСО), это уравнение - в силу принципа относительности Галилея - справедливо в любой другой ИСО.

Слагаемое - реактивная сила.

Если (потеря массы) и направлена в сторону, противоположную , то - реактивная сила вызывает ускорение материальной точки.

Два частных случая

Случай 1 = 0.

Уравнение похоже на основное уравнение динамики, но с массой, зависящей от времени:

(под подразумевается равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку).

Случай 2 ,

(в этом случае действие силы определяет изменение импульса тела с переменной массой).

Закон сохранения массы

Мы говорили о сохранении массы (числа частиц и т.п.), исходя из релятивистской связи между массой и энергией. Обоснуем закон, исходя из принципа относительности Галилея.

Пусть два тела (две материальные точки) с массами и сталкиваются между собой и превращаются в единое тело (материальную точку) с массой (пластилиновые шары, химическая или ядерная реакция). Спрашивается, какова будет масса составного тела. Покажем, что .

Рассматриваем движение тел в некоторой «покоящейся» системе . Пусть скорости до столкновения - и , после столкновения скорость составного тела - .

Из закона сохранения импульса следует: .

В системе отсчета (движущейся со скоростью ) скорости соответственно
, , а закон сохранения импульса справедлив с прежней силой:

.

Скорости в системе :

, , .

Отсюда

.

Принимая во внимание закон сохранения импульса в системе , получаем:

- свойство аддитивности массы.

Если в результате химической реакции из нескольких различных атомов получается несколько иных молекул, то можно обобщить: сумма масс веществ до реакции равна сумме масс веществ после реакции.

Однако это соотношение верно лишь приближенно, так как принцип относительности Галилея является частным случаем принципа относительности Эйнштейна (при « ). Релятивистская теория требует в балансе масс учитывать и энергию.

Для случая химических реакций поправка пренебрежимо мала.

Пример

C + O₂ → CO₂ + 4∙10¹²эрг .

12 г 32 г 44г

Дефект массы: г.

Относительная погрешность .

В случае ядерных реакций (деления или синтеза) энергетический выход значительно больше, так что и дефект массы - вполне заметная, существенная величина.

Теорема о движении центра масс

Для любой материальной точки ,

иначе , где - количество движения.

Для системы материальных точек количество движения:

.

Введем понятие центра масс системы:

это такая воображаемая точка, радиус-вектор которой задается через
радиусы-векторы и массы всех точек системы следующим образом:

, где - полная масса системы.

Продифференцируем по и умножим на :

; - скорость движения центра масс.

Þ .

Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила - векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Если система материальных точек является замкнутой, то сумма всех внешних сил .

Следовательно, Þ .

Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно.

Понятие о приведенной массе

РИС. 2-7

Пусть система состоит из двух материальных точек с массами m₁ и m_2. Уравнения движения этих двух точек: , .

Вычитая из второго уравнения первое, находим:

.

Если система замкнутая, то внешние силы отсутствуют и, в соответствии с 3-им законом Ньютона, .

Учитывая, что , получаем:

.

Вводя обозначение ,

получаем уравнение: , где - приведенная масса.

Уравнение описывает движение частиц вокруг общего центра масс.

Если, например, , то, поделив на числитель и знаменатель, получаем:

- движение легкой частицы вокруг тяжелой.

Приведенная масса – целесообразное обозначение, облегчающее решение ряда задач.

Эффект Мессбауэра (ядерный - резонанс) как яркий пример законов сохранения

(данный материал можно пропустить)

РИС. 2-8

Испускание (или поглощение) - кванта с энергией атомным ядром при переходе из состояния в состояние .

Разность внутренних энергий ядра ћw (w - частота); разность импульсов , - волновой вектор - кванта ( - волновое число).

Изменение полной энергии ядра:

,

_,

,

,

, , Þ .

Если бы излучающее ядро оставалось неподвижным, то излучаемая частота определялась бы только разностью внутренних энергий в начальном и конечном состояниях . Однако ядро приобретает так называемую отдачу , причем могут встречаться скорости ~10^-4 .

Итак, излучаемая энергия зависит от скорости излучающего ядра, причем ядра могут получать различные скорости , значит будут излучаться различные
- кванты. Спектр будет состоять из набора линий, соответствующих различным скоростям атомов – фактически из широкой полосы, отражающей распределение атомов по скоростям отдачи. Однако, если поместить излучающие ядра (атомы) в кристалл, поставив их в условия, когда они не могли бы передавать энергию колебаниям решетки (для этого нужно, чтобы энергия - квантов была не слишком велика, кэВ, а температура кристалла достаточно низка, 100 K), то в этом случае обмен импульсом будет происходить с кристаллом в целом. При этом уравнение сохранения энергии нужно переписать так:

. Здесь - макроскопическая величина, - пренебрежимо малая величина.

Получается чрезвычайно узкая линия, ее относительная ширина в первых опытах достигала 10^-10, сейчас меньше 10^-15, так что с помощью эффекта Мессбауэра удается наблюдать одно из следствий общей теории относительности (ОТО) - влияние гравитационного поля Земли на частоту излучения.

Рудольф Людвиг Мессбауэр (родился 31.01.1929 г. в Мюнхене) – Нобелевская премия 1961 г. «за исследование резонансного поглощения - излучения и открытие эффекта, названного его именем».

Работа и энергия

Работасилы на перемещении производится проекцией (составляющей) силы на это направление :

- скалярное произведение.

В зависимости от направления силы по отношению к перемещению (т.е. от знака проекции ) знак работы будет разным - положительным, отрицательным, или работа будет равна нулю при .

РИС. 2-9

Работа силы на траектории между точками 1 и 2 равна сумме работ на элементарных отрезках (вся траектория разбивается на участки , такие, что они хорошо аппроксимируют криволинейную траекторию отрезками прямых линий):

РИС. 2-10

- криволинейный интеграл вектора по траектории .

РИС. 2-11

( ).

На участке 1-2 совершена работа.

Можно записать работу и по-другому:

(второй закон Ньютона), , отсюда

.

Если , то .

Для конечных перемещений:

- работа равнодействующей нескольких сил равна сумме работ каждой из этих сил.

Размерности:

1 Н × 1м = 1 Дж; 1 дина ×1 см = 1 эрг; 1 Дж = 10⁷ эрг;

1 эВ = 1.602 × 10^-12 эрг – энергия, приобретаемая электроном при прохождении разности потенциалов 1 В. 1 кэВ = 10³ эВ, 1 МэВ = 10⁶ эВ.

Мощность: [Дж /с = Вт ]; .

Поскольку работу можно записать в виде , то в случае массы, не зависящей от скорости, то есть в нерелятивистском приближении, .

Поскольку , при выполнении работы по перемещению точки с массой из положения 1 в положение 2 (скорости соответственно и ) имеем:

.

Кинетическая энергия материальной точки:

.

Таким образом, .

Работа силы на отрезке пути равна изменению кинетической энергии материальной точки на этом отрезке.

Мощность – скорость совершения работы .

; делим на : . Итак, .

Для системы материальных точек - кинетическая энергия определяется суммой кинетических энергий каждой из точек. Единственно – добавим, что в системе материальных точек работу совершают и внешние, и внутренние силы. Поэтому: работа всех сил, действующих в системе материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы.

Заметим, что внутренние силы не могут изменять количество движения системы вследствие равенства действия и противодействия. Приращение количества движения определяется лишь внешними силами.

В замкнутой системе двух притягивающихся точек полное количество движения = const, но движение точек навстречу друг другу приводит к совершению положительной работы и к возрастанию кинетической энергии системы.

Преобразование кинетической энергии (по Галилею)

- в системе K.

Тогда в системе K¢, движущейся относительно K со скоростью :

;

. Здесь - импульс материальной точки в системе K¢,

- скалярное произведение векторов.

Консервативные и неконсервативные силы.

Если работа силы при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то сила называется консервативной.

Силы, не удовлетворяющие этому условию, называются неконсервативными.