Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru ,если она удовлетворяет след.трем условиям: 1)определена в точке Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru (т.е. существует f( Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru )); 2) имеет конечный предел функции при Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru ;3) этот предел равен значению функции в точке Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru ,т.е.

Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru ,если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

Св-ва функций, непрерывных на отрезке:

1) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

2) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

3) Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru такая, что f( Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru )=0/

7. Производная функции и дифференциал.

Производной функции у=f(x) наз.предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю( если этот предел существует): Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru .

Нахождение производной функции наз. Дифференцированиемэтой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция наз. Дифференцируемойв этой точке.

Если функция у=f(x) дифференцируема в точке Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru , то она в этой точке непрерывна. (непрерывность функции-необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.)

Дифференциалом функцииназ.Главная, линейная относительно Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru часть приращения функции, равная Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru . Dy=dx= Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

Dy= Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru .

Дифференциал равен приращению ординаты касательной в данной точке, когда х получает приращение Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru .

Св-ва дифференциала: 1)d(cf)=cdf, c=const. D(cf)= Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

2)d(f Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

3)d(f Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

4)d(f/ Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru .

8. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной n-ого порядка наз.производная от производной (n-1)-ого порядка. Обозначение: Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru и т.п. Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры.

Дифф.Высш.порядков. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Приложения производной в экономических расчетах. (для экономики)

10. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы:

1) (u±v) =u/±v/,

2) (u·v)/=u/v+v/u,

3) Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru

Теорема.Если функция y=f(x) имеет в точке Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru производную Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru не равную нулю, то обратная функция x=φ(y) имеет в соответствующей точке Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. - student2.ru производную, которая вычисляется по формуле: φ/(y0)=1f/(x0).

Доказательство y/=limΔx→0ΔxΔy,ϕ/(x0)=limΔy→0ΔyΔx=limΔy→01ΔxΔy=∣∣∣limΔx→0Δy=0∣∣∣=1limΔx→0ΔxΔy=1f/(x0).

Теорема Если функция x=φ(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x) имеет производную в точкеx0=φ(t0), то сложная функция y(t)=f(φ(t)) имеет производную в точке t0 и справедлива формула: y/(t0)=f/(x0)·ϕ/(t0).

Наши рекомендации