Степенные ряды(понятие степенного ряда, теорема Абеля, интервал и радиус сходимости ряда)

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды, имеющие вид

, (3)

где - коэффициенты степенного ряда. Заметим, что степенные ряды более общего вида

(4)

где - некоторое число, с помощью простой замены приводится к ряду (3). Очевидно, что точка является точкой сходимости степенного ряда (3).

Теорема Абеля. 1. Если степенной ряд сходится при , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству . 2. Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех , удовлетворяющих неравенству .

Из этой теоремы следует, что если , то во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне этого интервала ряд расходится. Положим . Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (3), а число - радиусом сходимости этого ряда. Если степенной ряд сходится в единственной точке , то считается, что ; если же степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то .

Замечание 5. На концах интервала ( ) сходимость ряда в каждом случае исследуется отдельно.

Замечание 6. Если рассматривается степенной ряд общего вида (4), то интервал сходимости имеет вид .

Свойства степенных рядов.

Свойство 1. Степенной ряд, составленный из производных членов ряда (3), имеет тот же радиус сходимости, что и сам ряд (3).

Свойство 2. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда.

Свойство 3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз.

Свойство 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости.

Свойство 5. Радиус сходимости степенного ряда (3) можно найти по формулам: (следствие признака Даламбера) и

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.

Определения. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производные до -го порядка включительно, тогда для любой точки , принадлежащей этой окрестности, справедлива формула Тейлора

, (1)

где функция называется остаточным членом. Эта функция может быть записана в разных видах:

1) остаточный член в форме Коши

,

где ;

2) остаточный член в форме Лагранжа

,

где ;

3) остаточный член в форме Пеано

,

где символ «о» («о малое») означает, что .

В случае формула

называется формулой Маклорена.

Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при (т.е. ), то формула Тейлора приводит к разложению функции в степенной ряд

, (2)

называемый рядом Тейлора. Степенной ряд

называется рядом Маклорена.

Ряды Маклорена следующих функций

, ,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

, ,