Операции над векторами в координатах
Пусть заданы векторы и
в прямоугольной системе координат.Линейные операции над ними выполняютсяпо следующим формулам:
.
Пример1. Даны два вектора и
. Найти координаты и длину вектора
.
Решение. ;
;
;
.
Пример2.Дан вектор , образующий с осью
угол
, и вектор
, образующий с той же осью угол
. Найти проекцию суммы
, где
, на ось
, если известно, что
,
.
Решение.Так как проекция суммы векторов равна сумме их проекций, необходимо найти проекцию каждого слагаемого на ось .
;
;
.
Тогда 11.
Понятие радиус-вектора точки. Координаты и длина вектора, заданного граничными точками.
Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат
произвольную точку М. Координаты вектора
будем называть координатами точки М. Вектор
называется радиус-вектором точки М и обозначается
.
Найдем координаты вектора , если известны координаты начальной
и конечной
точек (рис. 4).
Нетрудно заметить, что .Тогда согласно введенным для векторов операциям имеем
.
Рассмотрим радиус-вектор
точки
в прямоугольной системе координат
. Пусть
образует с осями координат
соответственно углы
(рис. 5).
Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов
,
,
, которыеравны:
где .
Пример 3.Найти координаты вектора и его длину, если
,
.
Решение. Найдем координаты вектора :
.
Тогда длина вектора будет равна
.
Пример 4. Найтинаправляющие косинусы вектора , если
,
.
Решение.Найдем координаты вектора :
Тогда его длина и направляющие косинусы будут соответственноравны:
,
Условия коллинеарности и равенства векторов, заданных в координатах.
Пусть задан ненулевой вектор Тогда любой коллинеарный с ним вектор будет отличаться от него на постоянный множитель, т.е.
, где
Следовательно, у коллинеарных векторов
и
координаты пропорциональны:
,
причем, если: 1) l>0, то и
сонаправлены;
2) l<0, то и
имеют противоположные направления;
3) 0<½l½<1, то корочевектора
в l раз;
4) ½l½>1, то длиннеевектора
в l раз.
Условием равенства двух векторов
является
.
Это означает, что координаты равных векторов совпадают.
Пример 5.Определить, при каких значениях параметров и
векторы
и
коллинеарны. Как направлены эти векторы и как соотносятся их длины?
Решение.Из коллинеарностивекторов и
будет следовать пропорциональность их соответствующих координат
. В нашем случае эти пропорции будут выглядеть следующим образом:
.
Вторая пропорция полностью определена, откуда . Следовательно,
, откуда a = 4. С другой стороны
, тогда b = –1.
Так как , то векторы
и
имеют противоположные направления и вектор
в два раза короче вектора
.
Пример 6.Даны три вершины параллелограмма
:
;
;
. Найти его четвертую вершину
.
Решение.Заметим, что вектор равен вектору
, а значит координаты этих векторов равны. Найдем координаты этих векторов:
,
. Тогда
или
;
или
;
или
. Таким образом, точкаDимеет координаты
.
Л и т е р а т у р а: [1,гл. 5, §§5.3, 5.5, 5.6];[2, гл.18,§§ 9–11];[3, гл.2, пп.12.6–12.8];[4, гл. 2, § 5, пп. 5.4, 5.5].