Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости Действия с векторами в координатах - student2.ru и Действия с векторами в координатах - student2.ru . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты: Действия с векторами в координатах - student2.ru . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: Действия с векторами в координатах - student2.ru . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор Действия с векторами в координатах - student2.ru и найдём сумму трёх векторов: Действия с векторами в координатах - student2.ru

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы Действия с векторами в координатах - student2.ru , то их суммой является вектор Действия с векторами в координатах - student2.ru .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор Действия с векторами в координатах - student2.ru умножить на число Действия с векторами в координатах - student2.ru , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число Действия с векторами в координатах - student2.ru :
Действия с векторами в координатах - student2.ru .

Для пространственного вектора Действия с векторами в координатах - student2.ru правило такое же:
Действия с векторами в координатах - student2.ru

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов Действия с векторами в координатах - student2.ru , Действия с векторами в координатах - student2.ru но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Пример 7

Даны векторы Действия с векторами в координатах - student2.ru и Действия с векторами в координатах - student2.ru . Найти Действия с векторами в координатах - student2.ru и Действия с векторами в координатах - student2.ru

Решение чисто аналитическое:
Действия с векторами в координатах - student2.ru

Ответ: Действия с векторами в координатах - student2.ru

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе Действия с векторами в координатах - student2.ru , то графическое решение задачи будет таким:
Действия с векторами в координатах - student2.ru
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Пример 8

Даны векторы Действия с векторами в координатах - student2.ru и Действия с векторами в координатах - student2.ru . Найти Действия с векторами в координатах - student2.ru и Действия с векторами в координатах - student2.ru

Решение:Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
Действия с векторами в координатах - student2.ru

Ответ: Действия с векторами в координатах - student2.ru

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Пример 9

Даны векторы Действия с векторами в координатах - student2.ru . Найти Действия с векторами в координатах - student2.ru и Действия с векторами в координатах - student2.ru

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

Наши рекомендации