Вычисление длин дуг плоских кривых
Литература: [3], гл. XII, § 3
[5], Ч.2, гл. 10, § 10.5
Если кривая y = f (x) на отрезке [a, b] является гладкой (т.е. производная ─ непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле
.
В том случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме ( ─ непрерывно-дифференцируемые функции), длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от α до β, вычисляется по формуле
.
Если, наконец, кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги кривой при изменении полярного угла от до , находится по формуле
.
Примеры. Найти длину дуги:
1) цепной линии от x = 0 до x = 2;
2) астроиды ;
3) кардиоиды .
Решение. 1) Дифференцируя, получаем , тогда
.
2) В силу симметрии астроиды относительно координатных осей достаточно найти длину одной четверти всей кривой и результат умножить на 4. При этом параметр t будет изменяться от 0 до .
| x |
| y |
| -a |
| -a |
| a |
| a |
, .
Тогда
.
Получаем
.
3) Так как кардиоида симметрична относительно полярной оси, то вычислим длину половины ее дуги (полярный угол φ изменяется от 0 до π), а затем умножим на 2. Найдем . Тогда
.
Теперь находим
.
Вычисление объемов тел вращения
Литература: [3], гл. XII, §§ 4, 5
[5], Ч.2, гл. 10, § 10.4
| y=f (x) |
| x |
| b |
| y |
| a |
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x = a, x = b (a < b), находится по формуле
| x = g (y) |
| x |
| y |
| d |
| c |
Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = g (y), осью ординат и двумя прямыми y = c и y = d, вычисляется по формуле
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формулы для вычисления объема тела вращения принимают вид
и .
Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением эллипса : 1) вокруг оси Ox, 2) вокруг оси Oy.
Решение.
1) ;
2) .
Вычисление площадей поверхностей тел вращения
Литература: [3], гл. XII, § 6
[5], Ч.2, гл. 10, § 10.6
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги гладкой кривой y = f (x) между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле
.
Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формула для вычисления площади поверхности вращения принимает вид
.
Пример. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ox одной арки циклоиды
Находим . Подставляем полученные выражения в формулу для и, учитывая, что параметр t изменяется от 0 до 2π, получим:
.
| 2πa |
| y |
| x |