Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида , (8.3.1)

Определение

Дифференциальное уравнение вида

,

(8.3.1)

где и – непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от x, а другой – только от . Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных.

Запишем производную в ее эквивалентной форме, т.е. как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента, затем умножим на обе части уравнения и поделим на обе части уравнения, полагая, что .

(8.3.2)

Интегрируя слева по переменной , а справа по переменной , получим

,

(8.3.3)

где – произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры решения уравнений методом разделения переменных.

Пример

Найти частное решение уравнения по начальным условиям: при .

Решение

Разделим переменные . Интегрируя обе части этого уравнения, имеем: , где – произвольная постоянная. При потенцировании получаем или . Полученная функция представляет собой семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения используем начальные условия: , т.е. . Окончательно частное решение имеет вид: .

Пример

Найти решение уравнения , проходящее через точку .

Решение

Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах .

Интегрируя, имеем . После интегрирования, получаем: .

Найдем константу. Для этого подставим в общее решение значения . Получим, что , т.е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака): .

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка называется неполным, если явно зависит только от одной переменной: либо от , либо от .

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция зависит только от . Переписав это уравнение в виде нетрудно убедиться, что его решением является функция .

2. Пусть функция зависит только от , тогда уравнение имеет вид . Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребляются при математическом моделировании и исследованиях стационарных физических процессов, когда, независимая переменная играет роль времени. В этом случае особый интерес вызывают так называемые точки равновесия, или стационарные точки – нули функции , где производная .

Решение такого автономного уравнения методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению вида .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Полагая, что , решаем уравнение методом разделения переменных:

, где .

Заметим, что общее решение уравнения при дает частное решение , «потерянное» в процессе преобразований.