Сложение и вычитание матриц

Деление отрезков в данном отношении.

Дано: произв отрезок М₁М₂ и пусть М-произв. т этого отрезка, отличная от М₂. Число - отношение, в к-ром М делит отрезок М₁М_2. Если делит отрезок М₁М₂ в отнош. l, то корд. этой точки определяются рав-вом , где -коорд. М₁, -М₂.

Площадь треугольника.

Т. Для любых точек не лежащих на одной прямой, выражается ф-лой

Вопрос №4.Угол между прямыми на плоскости.

Рассм 2 прямые , и

Углом между прямыми и наз меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми. Очевидно, что jÎ[0;p]. Не сложно заметить, что . Тогда , то -это , -это Þ . Если прямые параллельны, тогда Ðj=0, . След-но = - условие параллельности прямых. Если прямые ^, то , , след-но , т.е. - условие перпендикулярности прямых.

Вопрос №3.Ур-ние прямой на плоскости

Пусть на пл задана прямоуг. с-ма координат и нек-рая линия .Ур вида связывающее переменные и наз ур линии (в заданной с-ме координат); если этому ур-нию удовлетвор коорд любой точки, лежащей на линии и не удовлетворяют координаты никакой др точки, не лежащей на линии .

Ур-ние прямой с угловым коэффициентом.

Пусть прямая, не параллельная оси Оу.

Обозначим точки пересечения с Оу точкой В, а угол между полож. направлением оси Ох и обозначим j . Ðj наз углом наклона к Ох (и в пределах от [0;p) ). Пусть М(х,у)- произвольная точка прямой. Величину обозначают и наз угловым коэффициентом прямой. Тогда ур примет вид –ур-е прямой с угловым коэфф, в частности если =0, то j=0, прямая параллельна оси Ох. с ур-нием если =0 и получаем ур-ние оси Ох.

Уравнение прямой по точке и .

Пусть данная прямая имеет угловой коэф. и проходит через точку . Искомое ур-ние прямой . Подставим коорд. точки М₁в ур-ние

Ур-ние прямой, проходящей через 2 данные точки.

Пусть искомая прямая прох через точки и . Искомое ур , где и неизвестны. Т.к. прямая прох через М₁, то , т.к. прямая прох через М₂, то . Выразим из первого ур-ния и подставим во второе

Общее ур-ние прямой.

Т. Каждая прямая на плоскости с прямоуг. с-мой корд. определяется ур-нием первой степени , где и одновременно не равны 0. определяет нек-рую прямую на плоскости.

Это ур-ние называют общим ур-нием прямой на плоскости.

Ур-ние прямой, отрезка на осях координат.

Пусть прямая пересекает Ох и Оу соотв-но в точках А и В. Применяем ф-лу ур-ния прямой по двум точкам. Координаты А(а;0) и В(0;в):

Получаем ур-ние - ур-ние прямой на отрезках координат.

Вопрос №5. Расст от т до прямой на пл и взаим распол прямых на пл.

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Т. Расст. от данной точки до данной прямой , заданной ур на пл задается ф-лой

2)Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть прямые и заданы своими общими ур-ми

Рассм. с-му, состоящих из этих ур-ний с неизвестными и .

1 случай: , ур-ние имеет бескон множ-во решений. (прямые совпадают) и

2 случай: , , т.е. - ур-ние решений не имеет, т.к. прямые параллельны.

3 случай: , ур-ние имеет единственное реш, т.е. прямые пересек в единственной точке.

Вопрос №6.Линии второго порядка на плоскости.

Линии, ур-ния к-рых в прямоуг. с-ме координат задаются ур-нием 2-ой степени наз линиями 2-го порядка. К важнейшим линиям второго порядка относят эллипс, окружность, гиперболу, параболу.

Окружность. Эллипс.

Эллипсом наз множ-во всех точек плоскости, для каждой из к-рых сумма расст до двух данных точек, наз-мых фокусом, есть величина постоянная, большее, чем расст между фокусами.

Пусть имеет корд. , Запишем расстояние . Пусть постоянная величина, фигурирующая в определении эллипса = 2а ; > >

(1)- каноническое ур-ние эллипса.

Точки пересеч эллипса с осями коордт наз вершинами эллипса, оси симметрии(Ох и Оу) –осями эллипса. Осями также наз отрезки . Отрезки и наз-ют полуосями. В нашем случае А>В, -большая полуось , -малая полуось. Эксцентриситетом наз отношения фокусного расст к длине большой оси и обозначают . т.к. > >0, то 1>e>0. Фокальными радиусами точки М наз отрезки и , их длины равны. . Ур (1) можно рассм и в случае когда > . В этом случае большая полуось равны . Фокусы такого эллипса лежат на оси Оу и . В случ, когда = получаем ур , т.е. ур окр-ти.

Окружность - частный случай эллипса при равенстве полуосей. Для окружности .Канон ур-ние окр имеет вид ,

Гипербола.

Гиперболой наз множ-во точек плоскости, для каждой из к-рых модуль разности расст до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расст. между фокусами.

> . Каноническое ур-ние гиперболы: (2) Прямоугольник называется основным прямоугольником (рис.). Центр-начало координат. Прямые и наз асимптотами гиперболы. Их ур-ние и .Гипербола имеет 2 ветви. Центр симметрии наз центром гиперболы; оси симметрии наз осями гиперболы. Ось, к—рую пересек гипербола наз действительной осью, а ось непересек наз мнимой осью. Величины и наз полуосями. Если = , то гипербола равносторонняя, её ур . Ур (3)определяет гиперболу с действительной осью Оу. Ур (2) и (3) в одной и той же с-ме координат наз сопряженными. Эксцентриситет гиперболы-это отношение фокусного расст к расст между вершинами, т.е. точками пересечения с осями координат. Для ур (2) , т.к. > , то e>1.

Парабола.

Параболой наз множ-во точек плоскости, для каждой из к-рых расст от данной точки, наз фокусом равно расст до данной прямой, наз директрисой и не проходящей через фокус (рис.) - каноническое ур параболы. -наз параметом параболы, точку О-вершиной параболы, ось симметрии-осью параболы.

Вопрос №7. Матрицы и действия над ними.

Таблица чисел вида , сост из строк и столбцов наз матрицей размерности ´ .

Числа наз её элементами, если ¹ , то матрицу наз-ют прямоугольной, если = , то квадратной. Если =1, а >1, то матрица примет вид и наз матрицей-строкой. Если же >1, а =1, то матрица наз матрицей-столбцом. Число строк в квадратной матрице наз ее порядком. Две матрицы наз равными если они имеют одинак. размерность и соответствующие элементы равны.

Сложение и вычитание матриц.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера ´ наз матрица С размерности ´ , элементы кот равны сумме соотв эл-в матриц А и В.

Матрица 0 размерности ´ , все элементы к-рой=0 наз нулевой матрицей.

Разностью двух матриц А и В размерности ´ наз матрица С размерности ´ такая, что А=В+С. Из определения следует, что элементы матрицы С равны разности соотв. элементов матриц А и В.

Св-ва сложения:

сложение матриц коммутативно, т.е. А+В=В+А

сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С=А+(В+С)

А+0=0+А=А