Уравнения прямой на плоскости

Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости

Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида

. (4.1)

Это равенство, если оно выполняется не для всех пар чисел и , называется уравнением некоторой линии в заданной системе координат . Уравнение (4.1) определяет или задает линию .

Известно, что любое линейное уравнение с двумя переменными определяет прямую линию на плоскости.

Чтобы написать уравнение прямой , ее надо задать. Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые равносильны между собой, так как имеют одно и то же множество решений – координаты точек прямой .

Зададим прямую при помощи точки , принадлежащей данной прямой, и ненулевого вектора , перпендикулярного этой прямой (рис. 4.1).

О Рис. 4.1

Эти условия однозначно определяют прямую, так как через точку перпендикулярно вектору можно провести только одну прямую. Пусть - произвольная точка прямой . Так как , то и , т.е.

. (4.2)

Каждый ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, называется ее нормальным вектором.

Уравнение (1.2) называется уравнением прямой, заданной с помощью нормального вектора и точки.

Зададим прямую при помощи двух точек и , принадлежащих этой прямой.

Эти условия однозначно определяют прямую, так как через две заданные точки можно провести только одну прямую.

О Рис. 4.2.

Пусть - произвольная точка прямой . Так как , то и   (4.3)

Уравнение (4.3) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнения (4.2) и (4.3) с помощью тождественных преобразований приводятся к равносильному виду

. (4.4)

Уравнение (4.4) называется общим уравнением прямой линии. Здесь - какие-либо числа. Некоторые коэффициенты могут равняться нулю, однако хотя бы одно из чисел или должно быть отлично от нуля, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты и .

Если в (4.4) какой-либо из коэффициентов равен нулю, то:

1) при : - прямая проходит через начало координат;

2) при ( ): - прямая, параллельная оси ;

3) при ( ): - прямая, параллельная оси ;

4) при : - ось ;

5) при : - ось .

О Рис. 4.3

Если ни один из коэффициентов уравнения (4.4) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду: , (4.5) где и - величины направленных отрезков, которые отсекает прямая на осях координат (рис. 4.3).

Уравнение (4.5) называется уравнением прямой «в отрезках».

Из уравнения (4.4) можно выразить переменную как функцию от аргумента при :

. (4.6)

Уравнение (4.6) известно из элементарной математики, его называют уравнением с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент , где - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси . Ордината точки пересечения прямой с осью равна (рис. 4.4).

Приведем еще некоторые сведения справочного характера.

Если известны угловые коэффициенты и двух прямых (рис. 4.5.), то один из углов между этими прямыми определяется по формуле

. (4.7)

Второй угол равен .

О Рис. 4.4

О Рис. 4.5

Условие параллельности двух прямых:

. (4.8)

Условие перпендикулярности двух прямых:

. (4.9)

Точка пересечения прямых и определяется как решение системы:

(4.10)

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние определяется по формуле

. (4.11)