Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной

Вологодский государственный технический университет

(Череповецкий филиал)

Кафедра социально-гуманитарных и естественно-научных дисциплин

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

По подготовке к контрольной работе

Для студентов очной и заочной формы обучения

(по сокращенным программам)

I часть

Специальность 151001 (120100) – Технология машиностроения

Череповец

УДК

Математика: Учебно-методическое пособие по подготовке к контрольной работе для студентов очной и заочной формы обучения (по сокращенным программам) I часть. – Череповец: ВоГТУ, 2007. – 87 с.

Учебно-методическое пособие содержит краткую теорию по определенным разделам математики, пример решения варианта контрольной работы, задачи для контрольных заданий, список литературы.

Пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения по сокращенным программам специальности 151001 (120100) – Технология машиностроения.

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составитель Русина Л.Г., кандидат технических наук, доцент кафедры СГиЕНД

Рецензент Толстиков А.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии ЧГУ.

Содержание

Глава I. Элементы линейной алгебры.. 4

§ 1. Матрицы и действия с ними. 4

§ 2. Определители и их вычисление. 5

§ 3. Решение систем линейных уравнений. 6

Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. 8

§ 1. Векторы. Основные понятия. 8

§ 2. Скалярное произведение векторов. 9

§ 3. Векторное произведение векторов. 10

§ 4. Смешанное произведение векторов. 11

§ 5. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости. 11

§ 6. Аналитическая геометрия в пространстве. 13

п.1 Плоскость. 13

п.2 Прямая в пространстве. 14

Глава III. Элементы математического анализа. 15

§ 1. Кванторы.. 15

§ 2. Определение функций. 15

§ 3. Предел функции , непрерывность, точки разрыва. 16

§ 4. Производная функции одной переменной. 20

§ 5. План полного исследования функции. 22

§ 6. Частные производные функции нескольких переменных.Производная сложной функции нескольких переменных 24

§ 7. Наибольшее и наименьшее значения функции. 26

§ 8. Неопределенный интеграл. 27

§ 9. Определенный интеграл. 31

§ 10. Приложения определенных интегралов. 32

Глава IV. Пример решения варианта контрольной работы.. 34

Глава V. Задачи для контрольных заданий. 54

Введение

Одной из важнейших задач учебного процесса высшего учебного заведения является развитие у обучаемых навыков самостоятельной работы по нахождению, изучению и по применению научно-технической информации.

Настоящее пособие предназначено для студентов инженерных специальностей очной и заочной формы обучения. Оно составлено в соответствии с программой по математике для факультета «Технология машиностроения».

Пособие служит руководством для студентов при самостоятельном выполнении контрольных заданий, запланированных в I учебном семестре. Пособие начинается с краткого теоретического материала по разделам математики:

«Элементы линейной алгебры»,

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»,

«Элементы математического анализа».

Затем приводится конкретный пример решения варианта контрольной работы и предлагаются задачи для контрольных заданий.

Глава I. Элементы линейной алгебры

§ 1. Матрицы и действия с ними

Определение.Матрицей размерности называют прямоугольную таблицу чисел:

,

где –элементы матрицы,

– номер строки, ,

–номер столбца, .

Если , то матрицу называют квадратной n-го порядка.

Определение. Матрицу n-го порядка, в которой

Называют единичной.

Например, единичная матрица 4-го порядка:

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной.

Например, если , то .

1. Любую матрицу можно умножить на любое действительное число : .

2. Матрицы одной и той же размерности можно складывать (вычитать):

3. Матрицу А можно умножать на матрицу В только, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

,

причем элементы матрицы С находятся по правилу:

,

то есть элементы i–ой строки матрицы А умножаются на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В и полученные произведения складываются.

§ 2. Определители и их вычисление.

Каждой квадратной матрице по определенному правилу ставится в соответствие число, называемое определителем.

1.Правило вычисления определителя 2-го порядка:

2.Правило вычисления определителя 3-го порядка – правило треугольников:

Правило разложения определителя по элементам 1-й строки:

, где алгебраические дополнения , а минор – определитель, получающийся из данного путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Таким образом,

Аналогично определитель можно раскладывать по элементам любой строки или столбца.

3.Правило вычисления определителя n–го порядка. Определители n–го порядка вычисляются также разложением по элементам любой строки или столбца.

Таким образом,

– разложение определителя по элементам i–ой строки

или

– разложение определителя по элементам j–го столбца

§ 3. Решение систем линейных уравнений

1. Формулы Крамера для решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

где

2. Метод Гаусса.

Сущность метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных, данная система преобразуется в систему ей эквивалентную. Последовательное исключение неизвестных осуществляется с помощью элементарных преобразований системы:

а) перестановок двух любых уравнений;

б) умножений обеих частей одного из уравнений на любое, отличное от нуля число;

в) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Заметим, что удобно работать не с самими уравнениями системы, а с ее расширенной матрицей.

Пример.

Переставим местами два первых уравнения

Составим расширенную матрицу системы

Первую строку умножим на «–2» и сложим со второй строкой.

Первую строку умножим на «–1» и сложим с третьей строкой.

Получаем матрицу:

Вторую строку умножим на «–1» и сложим с третьей:

Этой матрице соответствует система уравнений:

Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

§ 1. Векторы. Основные понятия

Вектор – направленный отрезок (рис.1).

Рис. 1 Если точка – начало вектора, точка – конец вектора, то координаты вектора .

Вектор записывают также через единичные Рис. 1

векторы осей : (на плоскости) (рис. 2), (в пространстве).

Пусть , тогда

. (1)

Расстояние между точками и :

(2)

(2')

Координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ:

(3)

Длина вектора : (4)

(4')

§ 2. Скалярное произведение векторов

Определение. . (5)

Если , то

(6)

Из формулы (5) имеем угол между векторами и :

(7)

Проекция вектора на вектор

Физический смысл скалярного произведения

Пусть материальная точка движется по прямой от точки до точки , проходя при этом путь .

Допустим, что на точку действует сила , постоянная по величине и направлению и составляющая с направлением перемещения точки угол .

Из физики известно, что работа , совершаемая при этом силой на участке равна , где , или .

Свойства:

1) ,

2) ,

3) если , то

Замечание:

а) || или .

б) или .

§ 3. Векторное произведение векторов

Определение. – вектор, удовлетворяющий трем условиям:

1) ,

2) ,

3) образуют правую тройку, то есть, если смотреть из конца , то кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (рис. 3).

Замечание: Если вектор изображает силу, приложенную к точке А, а вектор направлен из некоторой точки О в точку А, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О: (8)

Свойства:

1) ,

2) , если , либо , либо || ,

3) ,

4) .

Если известны координаты векторов, то

(9)

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

– площадь треугольника (10)

§ 4. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов называют число, равное . Обозначают также .

Если известны координаты векторов, то

Объем пирамиды равен (11)