ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №4

Рисунок 11- Брус, работающий на кручение: а - расчетная схема; б - эпюра крутящих моментов; в - эпюра углов закручивания

Для заданного бруса круглого сечения (Рисунок 11, а) определить величину момента X, при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю, по­строить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, подобрать ди­аметр сечения по условию прочности и произвести проверку бруса на жесткость.

Числовые данные к задаче: а =0,8 м; в=1,0 м;
с=0,4 м; M₁=2 кН× м; M₂=0,9кН×м; [t]=40 МПа; G=8×10⁴ МПа.

1.Определение величи­ны неизвестного кру­тя­щего момента Х.

Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D при­ложены известные крутя­щие моменты. Для опре­деления неизвестного мо­мента Х используем усло­вие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

(4.8)

Крутящие моменты , входящие в выражение (3.8), определяются по приведенному выше правилу.

Вычисления начинаем с незакрепленного конца:

(4.9)

Используя выражения (4.9) и сок­ра­щая на , приводим уравнение (4.8) к виду

.

Подставляя значения a , b , c (Рисунок 11, а.) и решая это уравнение, получаем Х = 0,34 кН×м.

Примечание: если значение Х получится со знаком минус, направ­ление кру­тящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, сле­довательно, направление кру­тя­­щего момента, показанное на Рисунке 11, пра­ви­льно.

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Найденное значение Х = 0,34кН×м подставляем в выражения (4.9), вычисляя, таким образом, величину крутящего момента на каждом участке:

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов. Для это­го рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA. Крутящие мо­менты, действующие на этих участках, уже вычислены.

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от поло­же­ния се­че­ния в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпю­ра кру­тя­щих моментов ограничена отрезками прямых (Рисунок 11,б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует мак­си­маль­ный (по модулю) крутящий момент.

В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах учас­т­ка АВ; расчетное значение крутящего момента

3. Подбор диаметра поперечного сечения бруса.

Используем условие прочности (4.4)

.

Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности

Подставляя 1,56 кН×м и , вычисляем диаметр по­пе­речного сечения, округляя его до стандартной величины:

4. Проверка условия жесткости.

Условие жесткости записываем в форме (4.7):

.

По условию задачи [q]= 1 град/м. Переводя значение угла из градусной меры в радианную, получаем

Вычисляем выражение, стоящее в левой части условия жесткости, опре­де­лив предварительно величину полярного момента инерции бруса:

Сравнение левой и правой частей условия жесткости показывает, что оно вы­­по­л­­няется:

5. Построение эпюры углов закручивания.

Вычисляем углы закручивания по участкам, используя формулу (4.5):

Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соот­ветствующих участков бруса. Суммирование углов начинаем с незакрепленного кон­ца А:

так как сечение в заделке неподвижно;

По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закру­чи­вания (Рисунок 11, в).

Равенство является проверкой решения, так как неизвестный кру­тя­щий момент Х определялся из условия равенства нулю угла поворота сво­бод­ного конца бруса.

ЗАДАЧА № 5

Для заданных схем балок требуется:

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

подобрать поперечные сечения балок по следующим вариантам:

а) для стальной балки (Рисунок 12,а) - двутавровое; прямоугольное высотой h и основанием b при соотношении сторон h/b=2; круглое - диаметром d;

б) для чугунной балки (Рисунок 12,б) - форму сечения выбрать по Рисунок 13, определить размеры сечения из условия проч­ности по допускаемым напряжениям;

в) для стальной балки (Рисунок 12,в) - сечение, состоящее из двух швел­леров.

Для стальной двутавровой балки (вариант а) и чугунной балки (вариант б) пос­троить эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения.

Числовые данные берутся из таблице 5, расчетные схемы - по рисунку 12.

Таблица 5 - Числовые данные к задаче № 5

Номер строки	Номер расч. схемы (Рисунок	Сила	Момент	Длина участ- ка	Интен- сивность распреде- ленной	Допускаемое напряжение, , МПа
	12,13)	P1	P2	m1	m2	а,	нагрузки q,	Сталь	Чугун
		кН	кН	кН×м	кН×м	м	кН/м
						1,5
						1,5

Рисунок 12 - Расчетные схемы балок к задаче № 5

Рисунок 13 - Формы сечений чугунных балок к задаче № 5