Предел переменной величины и последовательности
Если значения переменной величины в процессе её изменения как угодно близко приближаются к некоторому числу , то говорят, что переменная величина стремится к или предел переменной величины равен , обозначают или .
Различные переменные величины к своему предельному значению могут стремиться по разному: убывая справа, возрастая слева, колеблясь около своего предельного значения.
Пример. Рассмотрим математический маятник (см. рис. 2.1.15). – угол отклонения маятника от положения равновесия – переменная величина.
Маятник стремится к положению равновесия, это значит, что угол отклонения, изменяясь со временем, колеблется около своего предельного значения, стремясь к нулю, т.е. .
Определение. Пусть – некоторое значение переменной величины и – сколь угодно малое положительное число. Все точки интервала (кроме самой точки ), удовлетворяющие неравенству , образуют – окрестность точки (см. рис. 2.1.16).
Определение. Пределом переменной величины называется число , если для любого сколь угодно малого числа , найдется такое значение переменной величины , что для всех значений переменной величины, больших , выполняется неравенство .
Иначе говоря, если – предел переменной величины , то все значения переменной величины , большие , попадут в – окрестность точки .
Аналогично можно дать определение предела для числовой последовательности (функции где ).
Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа найдется такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство .
Иначе говоря, если , то все точки , начиная с , попадают в полосу, ограниченную прямыми и (см. рис. 2.1.17).
Пример. Используя определение предела последовательности, доказать, что .
Решение: ,
По определению, число 2 будет пределом данной последовательности , если для любого найдется , такое что для всех
, т. е. ,
т.е. для всех , где целая часть числа .
Пусть , тогда . Таким образом существует , такое что для всех . Ч. и т. д.
Значит .
Предел функции
Рассмотрим – функцию одной переменной, определенную в – окрестности точки .
Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого наперед заданного сколь угодно малого , найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Иначе говоря, если , то точки графика функции с абсциссами из – окрестности точки и соответствующими им ординатами из ‑ окрестности точки должны лежать в полосе, ограниченной двумя прямыми и (см. рис. 2.1.18).
Примеры.
1.Доказать, что .
Решение: , если для любого сколь угодно малого , найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
, т. е. , тогда .
Если , то и для всех удовлетворяющих неравенству , а значит . Ч. и т. д.
2.Доказать, что если , то .
Решение: Для любого можно взять любое , тогда при , имеем . Следовательно, .
В связи с тем, что для функции одной переменной можно приближаться к по двум направлениям (слева и справа), существуют понятия левостороннего и правостороннегопределов.
Определение. Число называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа , найдется такое число , что при выполняется неравенство .
Иначе говоря, если слева (оставаясь меньше ), то предел функции – левосторонний, записывается в виде .
Определение. Число называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого наперед заданного числа , найдется такое число , что при выполняется неравенство .
Иначе говоря, если справа(оставаясь больше ), то предел функции – правосторонний, записывается в виде .
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Имеют место теоремы о существовании предела функции в точке.
Теорема 1. Если существует , то существуют односторонние пределы , , которые равны между собой и равны пределу функции в точке , т. е. .
Теорема 2(обратная). Если существуют равные межу собой односторонние пределы, т. е. , то существует .
Если же, , то не существует.
Пусть функция определена на интервале .
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого наперед заданного сколь угодно малого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Иначе говоря, если , то для всех или соответствующие значения функции попадают в –
окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе, ограниченной прямыми и (см. рис. 2.1.19).
Если , то пишут , если , то пишут .
Рассмотрим – функцию двух переменных, определенную на некоторой области .
Определение. Пусть точка и – некоторое сколь угодно малое положительное число. Совокупность всех точек , лежащих внутри окружности с центром в точке и радиусом (за исключением самой точки , т.е. ), удовлетворяющих неравенству , образуют – окрестность точки (см. рис. 2.1.20).
Определение. Число называется пределом функции двух переменных в точке , если для любого малого числа найдется число , такое, что для всех точек из – окрестности точки выполняется неравенство .
Обобщим понятия предела в точке для функции любого числа переменных.
Рассмотрим функцию переменных , которая определена в некоторой области – мерного пространства. Пусть точка ; – окрестность этой точки будет представлять совокупность точек, расположенных внутри -мерного шара с центром в точке и радиусом , координаты которых удовлетворяют неравенству: , где .
Определение. Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется число , такое, что для всех точек – окрестности точки выполняется неравенство , где .
Понятия предела в точке для функций одной, двух и большего числа переменных можно получить из последнего определения как частные случаи при , , и т. д.
Анализируя это определение предела функции предела функции в точке , отметим его особенности:
– в определении не рассматривается значение функции в точке , поэтому функция может быть не определена в этой точке, но иметь в ней предел;
– о существовании предела функции в этой точке можно говорить только в том случае, если при приближении к этой точке по различным направлениям значения функции стремится к одному и тому же числу. В частности, для функции существование предела в точке равносильно его существованию при стремлении к по любым направлениям (например, по прямым , параболам , и т.д.), а для функции можно устремляться к точке по оси слева или справа;
– определение предела не дает способов его вычисления, оно дает возможность доказать его существование.
ЛЕКЦИЯ 2.2. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ, СВОЙСТВА. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
Прогнозируемые результаты обучения:
· Базовые понятия:
– бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства,
– теоремы о пределах,
– признаки существования пределов.
– предел функции в точке,
– односторонние пределы,
– бесконечно малые и бесконечно большие функции,
– эквивалентность,
· Базовые операции:
– распознавание вида неопределенности,
– нахождение предела функции.
· Базовые методы:
– метод раскрытия неопределенности.
При чтении лекции используется создание проблемных ситуаций, активизирующих познавательную деятельность студентов, с последующим составлением опорных конспектов.
Ориентация на развитие компетенций:
ОК-5 – способность к самоорганизации и самообразованию;
ПК-1 – способность к анализу и синтезу;
ПК – 8: способность использовать информационные средства и технологии при решении задач, возникающих в ходе профессиональной деятельности;
ОПК-4 – готовность сочетать теорию и практику для решения инженерных задач.