Глава 2. Дифференцирование функций

Понятие функции

224. Дано: y = sinx; v = lgy; u = . Выразить u как функцию х.

225.Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, составленных из основных элементарных функций:

1) y = sin³(2x + 1); 2) y = ; 3) y = sin ln arcctg 2x.

226. Построить области изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам: 1) ; 2) ; 3) .

227. Найти корни х₁ и х₂ функции у = 4х - х² и построить ее график на отрезке [x₁ -1; x₂ +1].

228. Дано: f (x) = 2x³ -5x² -23x. Найти все корни уравнения f (x) = f (-2).

229. Найти области определения данных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

230. Тождественны ли функции:

1) и ; 2) и ?

231. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны, какие не являются ни четными, ни нечетными?

1) у = х⁴ -2х²; 2) y = cos x; 3) ; 4) y = sin x - cos x;

5) y = tg x; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

232. Найти функцию, обратную данной:

1) y =x² -2x; 2) ; 3) .

233. Дано: y = 1 + x; z = cos y; . Выразить v как функцию х.

234. Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, составленных из основных элементарных функций:

1) ; 2) ; 3) y = arcos ln tg 4x.

235. Построить области изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам: 1) ; 2) ; 3) .

236. Построить графики функций:

1) ; 2) ; 3) .

237. Указать два корня уравнения , если известно, что функция f (x) определена в интервале (-5; 5). Найти все корни данного уравнения для случая, когда f (x) = x² – 12x + 3.

238. Найти области определения данных функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

239. Тождественны ли функции:

1) и ; 2) f (x) = x и ?

240. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны, какие не являются ни четными, ни нечетными?

1) у = х - х²; 2) y = 2^x; 3) y = sin x; 4) y = 1 - x²; 5)

6) ; 7) ; 8) ;

241. Найти функцию, обратную данной:

1) ; 2) ; 3) .

Понятие предела

242. Полагая n = 0, 1, 2, 3, ..., написать последовательность значений переменных: , , .

Начиная с какого n модуль каждой из переменной сделается и будет оставаться меньше 0,001, меньше данного ?

243. Доказать, что последовательность при неограниченном возрастании n стремится к пределу, равному , монотонно возрастая. Начиная с какого n, величина не превосходит данного положительного числа e ?

244. При неограниченном возрастании х функция стремится к нулю: . Каково должно быть N, чтобы из следовало у < e ?

245. Доказать, что . При каких х значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01?

246. Написать последовательность значений переменной . Начиная с какого n, модуль разности х - 1 сделается и будет оставаться меньше 0,01, меньше данного положительного e ?

247. Доказать, что стремится к 1 при неограниченном возрастании n. Начиная с какого n абсолютная величина разности между u_n и 1 не превосходит 10^-4 ?

248. Дано у = х². Когда x → 2, то y → 4. Каково должно быть d, чтобы из , следовало ?

249. Доказать, что . При каких х значения функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001 ?

Нахождение пределов

Найти пределы:

250. . 251. . 252. .

253. . 254. . 255. .

256. . 257. . 258. . 259..

260. . 261. .

262. . 263. . 264. .

265. . 266. .

267. . 268. .

269. . 270. .

271. . 272. . 273. .

274. . 275. . 276. .

277. . 278. .

279. . 280. .

281. . 282. . 283. . 284. .

285. . 286. .

287. . 288. .

289. . 290. .

–––––––––––––––––––––––––––––

Найти пределы:

291. . 292. . 293. .

294. . 295. . 296. .

297. . 298. . 299. .

300. . 301. . 302. . 303. .

304. . 305. . 306. .

307. . 308. .

309. . 310. . 311. .

312. . 313. . 314. .

315. . 316. . 317. .

318. . 319. .

320. . 321. . 322. .

323. .

§20. Число е. Исследование функции на непрерывность

Найти пределы:

324. . 325. . 326. .

Исследовать на непрерывность функции:

327. . 328. .

Найти пределы:

329. . 330. . 331. .

Исследовать на непрерывность функции:

332. . 333. .

Производная функции

Продифференцировать указанные функции:

334. . Найти: .

335. . 336. . 337. .

338. . 339. . 340. .

341. . 242. . 343. .

344. . 345. . 347. .

346. . 348. .

349. . Найти: .

350. . 351. . 352. .

353. . 354. . 355. .

356. . 357. . 358. . 359. .

360. . 361. .

362. . 363. .