Дифференцирование неявных функций

Производная неявной функции Дифференцирование неявных функций - student2.ru , заданной с помощью уравнения Дифференцирование неявных функций - student2.ru , где Дифференцирование неявных функций - student2.ru дифференцируемая функция переменных Дифференцирование неявных функций - student2.ru и Дифференцирование неявных функций - student2.ru , может быть вычислена по формуле

Дифференцирование неявных функций - student2.ru при условии Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом Дифференцирование неявных функций - student2.ru как функцию от Дифференцирование неявных функций - student2.ru .

Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных Дифференцирование неявных функций - student2.ru , заданной с помощью уравнения Дифференцирование неявных функций - student2.ru , где Дифференцирование неявных функций - student2.ru дифференцируемая функция переменных Дифференцирование неявных функций - student2.ru и Дифференцирование неявных функций - student2.ru , могут быть вычислены по формулам

Дифференцирование неявных функций - student2.ru при условии Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Экстремум функции

Функция Дифференцирование неявных функций - student2.ru имеет максимум (минимум) в точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru некоторой окрестности точки Дифференцирование неявных функций - student2.ru , т.е. Дифференцирование неявных функций - student2.ru [соответственно Дифференцирование неявных функций - student2.ru ] для всех точек Дифференцирование неявных функций - student2.ru , удовлетворяющих условию Дифференцирование неявных функций - student2.ru , где Дифференцирование неявных функций - student2.ru Дифференцирование неявных функций - student2.ru достаточно малое положительное число.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка Дифференцирование неявных функций - student2.ru , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Если дифференцируемая функция Дифференцирование неявных функций - student2.ru достигает экстремума в точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

(необходимые условия экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть Дифференцирование неявных функций - student2.ru Дифференцирование неявных функций - student2.ru стационарная точка функции Дифференцирование неявных функций - student2.ru . Обозначим

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

и составим дискриминант Дифференцирование неявных функций - student2.ru Тогда:

а) если Дифференцирование неявных функций - student2.ru то функция имеет в точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru экстремум, а именно максимум при Дифференцирование неявных функций - student2.ru и минимум при Дифференцирование неявных функций - student2.ru

б) если Дифференцирование неявных функций - student2.ru то в точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);

в) если Дифференцирование неявных функций - student2.ru то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

7.7. Решение типового задания

Пример 1.Дана функция Дифференцирование неявных функций - student2.ru Найти Дифференцирование неявных функций - student2.ru и Дифференцирование неявных функций - student2.ru .

Решение.

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Пример 2. Дана функция Дифференцирование неявных функций - student2.ru Найти dz.

Решение.

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Следовательно, Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Пример 3. Вычислить приближенно Дифференцирование неявных функций - student2.ru исходя из значения функции Дифференцирование неявных функций - student2.ru при Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Решение. Искомое число есть наращенное значение функции z при Дифференцирование неявных функций - student2.ru Найдем значение z при Дифференцирование неявных функций - student2.ru имеем Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Находим приращение функции:

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Следовательно, Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Пример 4. Вычислить приближенно Дифференцирование неявных функций - student2.ru исходя из значения функции Дифференцирование неявных функций - student2.ru при Дифференцирование неявных функций - student2.ru .

Решение. Значение функции z при x=1, y=1 есть Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Найдем приращение функции Дифференцирование неявных функций - student2.ru при Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

= Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Следовательно, Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Пример 5. Дифференцирование неявных функций - student2.ru Найти Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Решение. Здесь Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Найдем Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Следовательно,

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Пример 6. Дифференцирование неявных функций - student2.ru Найти Дифференцирование неявных функций - student2.ru и Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Решение. Здесь Дифференцирование неявных функций - student2.ru Дифференцирование неявных функций - student2.ru = Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Находим Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Тогда Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Пример 7. Найти экстремум функции Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Решение. Находим частные производные первого порядка: Дифференцирование неявных функций - student2.ru Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

Дифференцирование неявных функций - student2.ru откуда Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Находим значения частных производных второго порядка в точке M:

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

и составляем дискриминант Дифференцирование неявных функций - student2.ru Следовательно, в точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Пример 8. Найти экстремум функции

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Решение. Находим частные производные первого порядка:

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Отсюда x=21, y=20; стационарная точка Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Найдем значения вторых производных в точке M: Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Тогда Дифференцирование неявных функций - student2.ru Дифференцирование неявных функций - student2.ru .

Так как A<0, то в точке Дифференцирование неявных функций - student2.ru функция имеет максимум: Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Задачи № 241-270:

Найти частные производные первого порядка Дифференцирование неявных функций - student2.ru и Дифференцирование неявных функций - student2.ru :

241. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 256. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
242. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 257. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
243. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 258. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
244. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 259. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
245. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 260. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
246. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 261. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
247. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 262. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
248. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 263. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
249. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 264. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
250. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 265. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
251. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 266. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
252. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 267. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
253. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 268. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
254. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 269. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
255. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 270. Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Задачи № 271-300:

Вычислить приближенное значение функции Дифференцирование неявных функций - student2.ru в точке А.

271. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,94; 3,02) 286. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,98; 0,03)
272. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,98; 3,92) 287. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,04; 0,05)
273. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,06; 2,92) 288. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,96; 1,04)
274. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,94; 1,03) 289. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(2,02; 0,97)
275. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,98; 2,03) 290. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(2,03; 3,94)
276. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,05; 1,96) 291. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,98; 1,02)
277. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,03; 0,98) 292. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,05; 2,98)
278. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(3,96; 1,03) 293. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,96; 1,02)
279. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,05; 2,97) 294. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(2,04; 1,96)
280. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(2,02; 2,97) 295. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,97; 1,05)
281. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(2,06; 1,96) 296. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,02; 2,03)
282. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,98; 3,91) 297. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(4,03; 0,98)
283. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,99; 0,02) 298. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(0,97; 2,03)
284. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(3,05; 1,98) 299. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(1,03; 0,98)
285. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(2,04; 3,95) 300. Дифференцирование неявных функций - student2.ru , A(2,04; 0,02)

Задачи № 301-330:

Найти производную Дифференцирование неявных функций - student2.ru от неявной функции, заданной уравнением.

301. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 316. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
302. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 317. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
303. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 318. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
304. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 319. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
305. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 320. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
306. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 321. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
307. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 322. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
308. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 323. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
309. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 324. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
310. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 325. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
311. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 326. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
312. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 327. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
313. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 328. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
314. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 329. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
315. Дифференцирование неявных функций - student2.ru 330. Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Задачи №331-360:

Найти экстремум функции двух переменных Дифференцирование неявных функций - student2.ru .

331. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
332. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
333. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
334. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
335. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
336. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
337. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
338. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
339. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
340. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
341. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
342. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
343. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
344. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
345. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
346. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
347. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
348. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
349. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
350. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
351. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
 
352. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
353. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
354. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
355. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
356. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
357. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
358. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
359. Дифференцирование неявных функций - student2.ru
360. Дифференцирование неявных функций - student2.ru

Наши рекомендации