ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №5

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать раз­меры поперечного сечения стальной балки (Рисунок 16) для различных форм сечения: двутавровой балки, балки прямоугольного сечения со сторонами h и b при h/b = 2 и круглого поперечного сечения. Балка выполнена из ста­ли с допускаемым напряжением [s ] =190МПа;

а =1 м; q=10кН/м.

=1.5qa

=0.5qa

H

Рисунок 16 - Расчетная схема балки

1.Определение опорных реакций.

На схеме показываем опорные реакции R₁, H, R₂ . Вертикальные реакции направляем вверх и записываем уравнения равновесия:

Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия:

Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

2.Построение эпюры Q.

Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, на­чинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются про­­ме­жуточные шарниры. В рассматриваемой балке граничными сече­ниями будут се­чения A, B, C и D. Для каждого из трех участков запишем аналитическое выражение Q (x).

Участок AB, 0<x<a.Рассмотрим произвольно выбранное сечение с абсциссой x. Рассекая балку в этом сечении на две части и отбросив правую часть, вычисляем алгебраическую сумму проекций на ось y всех сил, действующих на оставшуюся часть:

Поперечная сила не зависит от переменной x на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс. Отло­жив от оси эпюры вверх в выбранном масштабе 0,5qa (Рисунок 17), строим эпю­ру на этом участке.

Участок BC,a<x<2a.Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось y слева от сечения с абсциссой x

.

Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения най­дем значения поперечной силы на границах участков балки

Участок CD, 2a<x<3a. Поперечная сила на расстоянии x от начала координат

Так как поперечная сила не зависит от переменной x, на последнем участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси бал­ки (см. рисунок 17).

3. Построение эпюры M_z.

Аналитическое выражение для вычисления изгибающего момента в сечении x необходимо записать для каждого участка балки.

Участок AB:

.

На этом участке балки изгибающий момент возрастает по линейному закону и эпюра M_z ограничена наклонной прямой. Вычисляя его значения в сечениях на границах участка, строим в масштабе (рисунок 17) эпю­ру M_z на сжатом во­ло­кне

Участок BC:

Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре M_z не будет.

Определим изгибающий момент на границах участка:

Отложив вверх от оси балки найденные значения, проводим квадрат­ную па­­­­ра­­болу выпуклостью вверх (навстречу вектору усилия равномерно распределенной нагрузки).

Участок CD:

.

В пределах последнего участка балки (2a<x<3a) изгибающий момент линейно зависит от абсциссы x, и эпюра ограничена прямой линией.

При при

Эпюры Q и M_z показаны на Рисунок 17.

z

Рисунок 17 - Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

По эпюре M_z находим опасное сечение балки - сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для задан­ной балки изгибающий момент в опасном сечении = M_z(2a)=1,5qa² или после подстановки числовых значений 15кН×м.

Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения

Номер двутавра находим по расчетному значению момента сопротивления W_z, используя таблицы сортамента прокатной стали.

Внимание! В таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение) оси z соответствует ось x , это означает, что .

Наиболее близок к требуемому момент сопротивления двутавра №14,
равный W_x=81,7 см³. Выбрав это сечение, определяем нормальные напряжения в поперечном сечении балки:

Подбираем прямоугольное сечение, момент сопротивления которого определяется с учетом того, что :

Отсюда

Круглое поперечное сечение имеет момент сопротивления

Диаметр круга

Рассмотрим второй метод построения эпюр внутренних усилий, дей­ствующих в сечениях балки. Он состоит в том, что попе­реч­ные­ силы и из­­­­ги­ба­ющие моменты вычисляются на границах участков без записи уравнений , а соответствующие эпюры строятся на основании диф­фе­рен­циальных зависимостей между Q, M, q:

. (5.3)

Зависимости (5.3) позволяют установить следующие характерные особенно­сти эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена пря­мыми, параллельными оси балки, а эпюра M - наклонными прямыми.

На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра M - квадратными параболами, выпуклость которых направлена навстречу вектору рав­но­мер­но распределенной нагрузки.

На участках, где Q >0, изгибающий момент возрастает; если Q<0 - из­ги­бающий момент убывает.

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q бу­дут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре M - переломы, острие которых направлено против действия этих сил.

В сечениях, где к балке приложены пары сил (сосредоточенные мо­менты), на эпюре M будут скачки на величину этих моментов.

Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка и эпюра Q в пределах участка изменяет знак, то в сечении, где Q = 0, на эпюре M_z будет экстремум.

Примеры использования дифференциальных зависимостей при расчете балок приводятся ниже.

Рассмотрим задачу подбора сечения балки, изготовленной из хрупкого матери­ала. Балка (Рисунок18) изготавливается из чугуна и имеет сече­ние, показанное на Рисунке 20.

Требуется определить из расчета на прочность по допускаемым напряжениям размеры поперечного сечения, если материал балки - чугун с допускаемым напряжением на сжатие [s]_сж=700МПа и на растяжение[s]_р=140МПа; 1м; 10кН/м.

Рисунок 18 - Расчетная схема чугунной балки

Для нахождения опасного сечения строим эпюры M и Q. Очевидно, что дан­ная балка имеет три участка:

AB (0 ), BC (a ), CD (2a ).

Для того чтобы не вычислять опорные реакции, рассмотрим балку, начиная с участка AB. Найдем поперечную силу и изгибающий момент в начале этого участка. Мысленно рассечем балку в сечении A на две части и отбросим правую ее часть. Слева на оставшуюся часть дей­ствует только сосредоточенная сила, равная 2qa. Проектируя эту силу на нор­маль к оси балки, получаем

Q(0) = 2qa.

Рассекая балку в сечении B и поступая аналогично, находим величину поперечной силы в этом сечении - она равна алгебраической сумме про­екций сил, действующих на оставшуюся левую часть балки, на нормаль к ее оси:

Q(a) = 2qa - qa qa,

где 2qa - проекция сосредоточенной силы на нормаль к оси балки;

qa - проекция равнодействующей распределенной нагрузки.

Изгибающий момент в начале первого участкаM (0) = 0; в конце участ­ка он равен алгебраической сумме моментов относительно точки B от сосредоточенной си­лы 2qa и распределенной нагрузки:

.

Строим эпюры Q и M_z для первого участка балки.

Выбрав масштаб, откладываем вверх от оси эпюр (Q и M_z поло­жи­тельны!) найденные зна­чения поперечных сил и изгибающих моментов. На эпюре Q соединяем прямой линией точки с координатами (0, 2qa) и (a, qa), а на эпюре M_z про­­во­дим квадратную параболу выпуклостью вве­рх через точки (0, 0) и(a, 1,5qa²).

Поступая аналогично, вычисляем поперечные силы и изгибающие моме­н­ты в начале и конце участков BC и CD.

Участок BC: ;

Q (a) qa, Q (2a) qa;

M (a) 1,5qa², M (2a) 2,5qa².

Отложив вверх вычисленные значения Q и M, строим эпюры внут­рен­них уси­лий на втором уч­а­ст­ке балки. Как следует из дифференциальных за­висимостей, эти эпюры ог­­ра­ничены прямыми линиями.

Участок CD: ;

Q (2a) qa, Q (3a) qa;

M (2a) =4,5qa², M (3a)=5,5qa².

В начале последнего участка к балке приложена пара сил, что вызывает по­явление скачка на эпюре изгибающих моментов. На участке CD распределенной нагрузки нет, поэтому эпюры Q, M_z ограничены прямыми ли­­ниями (Рисунок 19).

Окончательный вид эпюр Q, M_z показан на том же рисунке.

Рисунок 19 - Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Опасное сечение находится в заделке и ­рас­четный изгибающий момент = 5,5qa² = Н×м = Н×м= 55 кН×м.

Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти из ус­ло­вия прочности балки осевой момент сопротивления относительно его не­й­тральной оси.

Заданное сечение (Рисунок 20) имеет ось симметрии, и для определения по­ло­жения его центра тяжести достаточно вычислить только одну его коор­ди­нату- ординату у_с.

Разобьем заданную фигуру на две простые части: прямоугольник (1) и полукруг (2). В ка­честве исходных осей принимаем главные центральные оси прямоугольника y₁, z₁. Тогда ордината центра тяжести всей фигуры опре­де­лится по формуле

Определив положение центра тяжести, проводим главные центральные оси составной фигуры.

Рисунок 20 - Поперечное сечение чугунной балки

Вычисляем момент инерции зад­анного сечения относительно главной центральной оси Z*):

При расчете на прочность балок, изготовленных из хрупких материалов, для сечений с одной осью симметрии необходимо вычислять два момента сопротивления относительно оси Z:

Из эпюры изгибающих моментов (Рисунок 20), построенной на сжатом волокне, следует, что в опасном сечении верхние волокна балки сжаты, а ниж­ние растянуты. Условие прочности для опасных точек в растянутой зоне сечения имеет вид

Отсюда a = 0,043м = 4,3 см.

Опасной точкой в сжатой зоне является точка, наиболее удаленная от оси z на расстояние . Условие прочности балки по допускаемым напряжениям на сжатие

Отсюда a = 0,026м = 2,6см.

В расчете по нормальным напряжениям из двух найденных значений a принимаем большее (a = 4,3см), что обеспечивает прочность материала балки как в растянутой, так и в сжатой зонах.

Рассмотрим пример подбора составного сечения стальной балки.

Для балки (Рисунок 21) подобрать сечение, состоящие из двух стальных шве­л­­леров. Принять а = 1 м; q = 10кН/м;[s ] =190МПа.

Рисунок 21 - Расчетная схема балки

Определяем опорные реакции:

Отметим, что момент распределенной нагрузки относительно опоры B равен нулю, а реакция второй опоры направлена не вверх, как показано на Рисунок 21, а вниз.

Проверка правильности вычисления опорных реакций:

Реакции определены правильно.

Эпюры Q, M_z строятся аналогично эпюрам предыдущего примера. Вид эпюр показан на Рисунок 22.

Рисунок 23. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и

изгибающих моментов

По эпюре М_z находим величину изгибающего мо­мента, максимального по модулю

Сечение балки подбираем из условия прочности при изгибе. Требуемый момент сопротивления сечения, состоящего из двух швеллеров

Осевой момент сопротивления одного швеллера будет в два раза мень­ше-

По таблице сортамента прокатной стали находим, что ближайший подходящий момент сопротивления имеет швеллер № 12, для которого W_x= 50,6см³. Швеллер № 10 с осевым моментом сопротивления принять нельзя, так как в этом случае момент со­про­тивления сечения, составленного из двух швеллеров, будет равен 69,6 см³<79 см³ и напряжения в балке превысят допускаемые на 13 %, что неприемлемо (в ра­счетах допускается перенапряжение £ 5%) .

Рассмотрим пример решения второй части задачи № 5.

Построим эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения для двух балок - двутавровой стальной и чугунной.

Нормальные напряжения в поперечном сечении балок при изгибе определяются по формуле (5.1).

По ширине сечения нормальные напряжения распределяются рав­но­мерно. Зав­исимость между s и у линейная, нормальные напряжения пря­мо про­порци­ональны рас­­стоянию слоя волокон от нейтральной оси, совпада­ю­­щей с глав­ной центральной осью инерции Z.

Вычислим максимальные нормальные напряжения в двутавровом сече­нии балки

Минимальные (сжимающие) напряжения в двутавровом сечении по абсолютной величине будут равны максимальным растягивающим напряжениям.

Для чугунной балки величина максимальных (растягивающих) напряжений

Минимальные (сжимающие) напряжения

Выбрав масштаб, строим эпюры распределения нормальных напря­жений по высоте стальной (Рисунок 24, а) и чугунной (Рисунок 24, б) балок.

Рисунок 24 - Распределение нормальных напряжений по высоте балок

ЗАДАЧА № 6

Для двух заданных плоских рам построить эпюры изгибающих моментов. Схемы рам и числовые данные для решения задачи выбираются из табл.6 и по рисунку 25.

Таблица 6 - Числовые данные к задаче № 6

Номер строки	Номер расч. схемы	Сила, кН	Момент, кН×м	Размер а, м
	(рисунок25)