Уравнение с разделяющимися переменными

у' = f1(x)×f2(y).

Решение.

dy/dx = f1(x)×f2(y) |× dx/ f2(y), f2(y) ≠ 0,

dy/ f2(y) = f1(x)× dx,

общее решение (общий интеграл) уравнения.

Случай f2(y) = 0 рассматривается с помощью подстановки в исходное уравнение.

Пример 2.11. Решить уравнение

Решение.

dy/dx = у2сosx |× dx/у2, у ≠ 0,

dy/у2 = cosxdx,

–1/y = sinx + C,

y = –1/(sinx + C) – общее решение.

Рассмотрим случай у = 0.

Подставляя в исходное уравнение у = 0, получаем:

0' = 02cosx, 0 = 0 – верно Þ у = 0 – решение уравнения.

Это решение не может быть получено как частное решение общего решения ни при каком значении С.

Ответ: y = –1/(sinx + C), у = 0.

2.81. Решить уравнения:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

2. Однородные уравнения 1-го порядка

Уравнения решают с помощью замены

После подстановки z и в исходное уравнение получается уравнение с разделяющимися переменными (см. п. 1).

2.82. Решить уравнения:

1) 2) 3)

4) 5)

6)

3. Линейные уравнения 1-го порядка

у' + p(x)×y = f(x),

где p(x), f(x) – непрерывные функции.

Пример 2.12. Решить уравнение у' + xy = x.

Решение.

Пусть тогда и уравнение принимает вид

Группируя первое и третье слагаемые, получаем

Равенство будет верным, если

Найдем частное решение первого уравнения системы:

Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем его общее решение:

C помощью замены получаем общее решение:

Подставляя найденные решения и в равенство получаем решение исходного уравнения:

Ответ:

Задача Коши для уравнения 1-го порядка имеет вид

Пример 2.13.

Решить задачу Коши

Решение.

Найдем общее решение уравнения :

dy/dx = х2у |× dx/у, у ≠ 0,

dy/у = x2 dx,

ln|y| = х3 /3 + С.

Подставим в это решение х = 2 и у = 1 (см. условие у(2) = 1):

ln|1| = 23 /3 + С,

0 = 8/3 + С Þ С = – 8/3.

Подставляя это значение в общее решение, получаем

Ответ: ln|y| = (х3 – 8)/3.

2.83. Решить уравнение или задачу Коши:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка

С постоянными коэффициентами

,

где p, q R.

Решение.

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Возможны три случая:

1) k1,2 R, k1 ≠ k2 (дискриминант D > 0);

2) k1,2 R, k1 = k2 = k (D = 0);

3) k1,2 = C (D < 0).

Каждому из этих случаев соответствует общее решение уравнения:

1)

2)

3)

Пример 2.14.

Решить уравнения:

1)

2)

3)

4)

Решение.

1) Ответ:

2) Ответ:

3) Ответ:

4)

Ответ:

2.84. Решить уравнения:

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7) 8)

5. Уравнения вида y(n) = f(x)

Решение.

…,

Пример 2.15.

Решить уравнение: 1. 2.

Решение.

1.

Ответ:

2.

Ответ:

2.85. Установить вид частного решения неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если:

1) 2)

3)

4)

2.86. Решить уравнение или задачу Коши:

1) 2)

3)

4)

5)

6)

Последовательности и ряды

Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента

Пример 2.16.

Найти первые три члена последовательности

Решение.

2.87. Найти пять первых членов последовательности , если:

1) 2) 3) 4)

2.9.1. Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство −аn − A−< ε.

Пример 2.17. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности равен нулю.

Решение.

Пусть ε > 0. Составим неравенство и решим его относительно n. Получаем:

Итак, для любого ε > 0 существует такой номер (или целой части дроби), что для всех выполняется неравенство , т. е. предел последовательности равен нулю. Например, при ε = 0,1 N = 21.

2.88. Доказать, используя определение предела последовательности, что

;

Пример 2.18. Найти предел последовательности .

Решение.

2.89. Найти предел последовательности:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

2.90. Вычислить пределы, используя равенство

Числовые ряды

Определение. Числовым рядом называется сумма

где ап

Пример 2.19 .

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если

где частичная сумма ряда;

S − сумма ряда.

В противном случае ряд называется расходящимся.

2.91. Записать формулу общего члена ряда:

2.92. Найти сумму числового ряда:

1) 2) 3)

Наши рекомендации