Уравнение с разделяющимися переменными
Этот тип уравнения является самым простым типом уравнений первого порядка.
Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Представим производную как отношение дифференциалов 
, тогда
.
Умножаем на 
.
Разделение переменных производится делением обеих частей последнего соотношения на произведение 
, в котором 
, 
. После деления уравнение примет вид
или 
,
а его общий интеграл запишется так:
или 
.
Пример. Решить уравнение 
.
Решение. Подставим вместо
. 
.
Разделим на 
.
Интегрируя, получим
.
Здесь удобно представить константу в логарифмической форме. Из последнего равенства получим
; 
.
Однородные дифференциальные уравнения
Первого порядка
Функция 
называется однородной степени 
, если для нее выполняется равенство
.
Однородными функция будут:
– вторая степень однородности
– вторая степень однородности
– первая степень однородности
– нулевая степень однородности
Неоднородные функции: 
, 
, 
.
Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида
,
где 
и 
– однородные функции одинаковой степени однородности.
Дифференциальное уравнение может быть представлено в виде
.
Для решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка применяют подстановку
,
где 
– новая искомая функция, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
После того как новое уравнение будет проинтегрировано, следует заменить на 
.
Пример. Решить уравнение 
.
Решение. Убедимся, что это уравнение однородное. Заменить 
на 
, а 
на 
, видим, что уравнение не изменилось это и доказывает, что оно однородное.
Сделаем подстановку:
, откуда 
,
и уравнение перепишется так:
,
,
,
.
Теперь мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое после разделения переменных запишется следующим образом:
.
Интегрируя, получаем:
, или 
.
Заменяя на , получим
;
; 
.
7.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Дифференциальные уравнения вида
называются линейными потому, что искомая функция и ее производная 
входят в уравнение в первой степени.
Функции 
и 
предполагаются непрерывными в промежутке 
, в котором ищется решение уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка при помощи подстановки 
сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример. Решить уравнение 
.
Решение. Запишем уравнение в виде: 
.
Разделяя на 
, получим: 
.
Полагаем , тогда 
и данное уравнение примет вид:
,
или
.
Решаем уравнение
,
находим его простейшее решение
,
откуда
; 
.
Подставляя в уравнение , получим уравнение
, откуда 
,
,
, 
.
Значит, искомое общее решение можно записать в виде:
.