Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2

Определение 7.

ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru или в дифференциальной форме Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru

Теорема 1.

Если в уравнении Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru функции Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , причём в прямоугольнике Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru функции Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru ,

то Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru задача Коши

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru (3)

имеет решение и притом единственное.

Заметим, что в случае, если Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , то уравнение Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru переписывается в виде:

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Если теперь ввести обозначения Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru и Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru ,тоуравнение переписывается в виде Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , и задача (3) приобретает стандартный вид задачи Коши (2).

Доказательство.

ЭТАП (нахождение общего решения уравнения)

Перепишем уравнение Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru в виде:

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , (*)

идалее воспользуемся условием Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , которое позволит нам поделить последнее равенство на Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Получим:

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . (**)

Поскольку, по условию, все функции Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru непрерывны, а функции, стоящие в знаменателях еще и отличны от нуля, то существуют первообразные Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru и Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru функций Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru и Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , соответственно. Для них равенство (**) переписывается так:

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru (***)

Но если равны дифференциалы функций, то сами функции могут отличаться только на константу, то есть

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru (!)

Равенство (!) представляет собой запись общего решения исходного уравнения Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , а равенство Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru – запись его общего интеграла.

ЭТАП (нахождение решения задачи Коши)

Поскольку все решения нашего уравнения могут быть записаны в виде (!), то и частное решение, которое удовлетворяет условию Коши Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , если оно существует, должно, при некотором значении константы Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru иметь тот же вид (!). Чтобы найти подходящее значение Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , подставим в (!) условие Коши. Получим:

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . (!!)

Тут важно заметить, что каково бы ни было начальное условие, т.е. Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , константа Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , удовлетворяющая (!!), всегда существует и притом определяется единственным образом. Поэтому существует и притом единственное решение исходной задачи Коши (3), и оно задается формулой

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru

Замечание.

В уравнении (*) как в левой, так и в правой частях есть функции, зависящие от Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , и функции, зависящие от Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . В то же время при переходе к (**) мы добились, чтобы в левой части встречалась только переменная Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , а в правой – только Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Этот процесс носит название разделения переменных.

Пример.

Решить уравнение с разделяющимися переменными Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Для разделения переменных обе части уравнения разделим на Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Чтобы не потерять решение, необходимо проверить, являются ли корни Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru решениями исходного уравнения. Для этого рассмотрим 3 случая:

1) Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , т.е. Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , подставляем в исходное уравнение и получаем Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru решение.

2) Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , т.е. Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , подставляем в исходное уравнение и получаем Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru решение.

3) Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , тогда Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru или Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , где Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Потенцируя уравнение, получаем: Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , где Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Запишем: Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Т.к. решение Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru получается из решения Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru при Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , то допустив, что Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru может принимать значение, равное нулю, получаем окончательно: Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , где Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru - любое.

Билет

Функция Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru называется однородной функцией степени Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , если Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru справедливо Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Определение 0.2.

Однородным уравнением называется уравнение вида Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , где Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru - однородные функции одной и той же степени.

Определение 0.3.

Однородным уравнением называется ОДУ 1-ого порядка Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , правая часть которого является однородной функцией нулевой степени, т.е. Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Последнее равенство означает, что если точка Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru принадлежит области определения функции Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , то этой же области принадлежит и открытый луч, проходящий через начальную точку и данную точку Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru : Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Полагая Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , запишем Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

В результате приходим ещё к одному определению однородного уравнения.

Определение 8.

Однородным уравнением называется уравнение вида Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru

Теорема 2.

Если Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru ,

то для любых Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru решение задачи Коши

Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru (6)

Доказательство.

Введём новую неизвестную функцию Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru тогда Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , при этом Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Задача Коши (6) сводится к следующей задаче Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Получили задачу Коши для ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными. Согласно теореме (§3 настоящей главы) эта задача имеет решение и притом единственное Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru

Пример.

Решить задачу Коши Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Уравнение Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru является однородным. Вводим новую неизвестную функцию Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , отсюда Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , где Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , отсюда Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru . Решаем задачу Коши: т.к. Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , то Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru , Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru ,т.е. Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2 - student2.ru .

Наши рекомендации