Уравнение с разделяющимися переменными
у' = f1(x)×f2(y).
Решение.
dy/dx = f1(x)×f2(y) |× dx/ f2(y), f2(y) ≠ 0,
dy/ f2(y) = f1(x)× dx,
общее решение (общий интеграл) уравнения.
Случай f2(y) = 0 рассматривается с помощью подстановки в исходное уравнение.
Пример 2.11. Решить уравнение
Решение.
dy/dx = у2сosx |× dx/у2, у ≠ 0,
dy/у2 = cosxdx,
–1/y = sinx + C,
y = –1/(sinx + C) – общее решение.
Рассмотрим случай у = 0.
Подставляя в исходное уравнение у = 0, получаем:
0' = 02cosx, 0 = 0 – верно Þ у = 0 – решение уравнения.
Это решение не может быть получено как частное решение общего решения ни при каком значении С.
Ответ: y = –1/(sinx + C), у = 0.
2.81. Решить уравнения:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8)
2. Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения решают с помощью замены
После подстановки z и в исходное уравнение получается уравнение с разделяющимися переменными (см. п. 1).
2.82. Решить уравнения:
1) 2) 3)
4) 5)
6)
3. Линейные уравнения 1-го порядка
у' + p(x)×y = f(x),
где p(x), f(x) – непрерывные функции.
Пример 2.12. Решить уравнение у' + xy = x.
Решение.
Пусть тогда и уравнение принимает вид
Группируя первое и третье слагаемые, получаем
Равенство будет верным, если
Найдем частное решение первого уравнения системы:
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем его общее решение:
C помощью замены получаем общее решение:
Подставляя найденные решения и в равенство получаем решение исходного уравнения:
Ответ:
Задача Коши для уравнения 1-го порядка имеет вид
Пример 2.13.
Решить задачу Коши
Решение.
Найдем общее решение уравнения :
dy/dx = х2у |× dx/у, у ≠ 0,
dy/у = x2 dx,
ln|y| = х3 /3 + С.
Подставим в это решение х = 2 и у = 1 (см. условие у(2) = 1):
ln|1| = 23 /3 + С,
0 = 8/3 + С Þ С = – 8/3.
Подставляя это значение в общее решение, получаем
Ответ: ln|y| = (х3 – 8)/3.
2.83. Решить уравнение или задачу Коши:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
С постоянными коэффициентами
,
где p, q R.
Решение.
Составим характеристическое уравнение и решим его.
Возможны три случая:
1) k1,2 R, k1 ≠ k2 (дискриминант D > 0);
2) k1,2 R, k1 = k2 = k (D = 0);
3) k1,2 = C (D < 0).
Каждому из этих случаев соответствует общее решение уравнения:
1)
2)
3)
Пример 2.14.
Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
Решение.
1) Ответ:
2) Ответ:
3) Ответ:
4)
Ответ:
2.84. Решить уравнения:
1) 2) 3)
4) 5)
6) 7) 8)
5. Уравнения вида y(n) = f(x)
Решение.
…,
Пример 2.15.
Решить уравнение: 1. 2.
Решение.
1.
Ответ:
2.
Ответ:
2.85. Установить вид частного решения неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если:
1) 2)
3)
4)
2.86. Решить уравнение или задачу Коши:
1) 2)
3)
4)
5)
6)
Последовательности и ряды
Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента
Пример 2.16.
Найти первые три члена последовательности
Решение.
2.87. Найти пять первых членов последовательности , если:
1) 2) 3) 4)
2.9.1. Предел последовательности
Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство −аn − A−< ε.
Пример 2.17. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности равен нулю.
Решение.
Пусть ε > 0. Составим неравенство и решим его относительно n. Получаем:
Итак, для любого ε > 0 существует такой номер (или целой части дроби), что для всех выполняется неравенство , т. е. предел последовательности равен нулю. Например, при ε = 0,1 N = 21.
2.88. Доказать, используя определение предела последовательности, что
;
Пример 2.18. Найти предел последовательности .
Решение.
2.89. Найти предел последовательности:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
2.90. Вычислить пределы, используя равенство
Числовые ряды
Определение. Числовым рядом называется сумма
где ап
Пример 2.19 .
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если
где частичная сумма ряда;
S − сумма ряда.
В противном случае ряд называется расходящимся.
2.91. Записать формулу общего члена ряда:
2.92. Найти сумму числового ряда:
1) 2) 3)