Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногда в него надо вклю­чить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.

Промежуток (-R, R)называется промежутком сходимости, положительное число R — радиусом схо­димости степенного ряда. Внутри этого промежутка ряд сходится, вне его расходится. Необходимо, также, исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Если степенной ряд сходит­ся только в точке х=0, то R=0. Если ряд сходится во всех точках, то говорят, что радиус сходимости равен бесконечности (R=¥).

Теорема 2. Радиус сходимости R степенного ряда равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует:

§64 Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда, расположенногопо степеням х-а есть некоторый промежуток (а-R, а+R), симметричный относительно точки х=а. Иногда в него надо вклю­чить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.

Теорема 2. Радиус сходимости R степенного ряда, расположенногопо степеням х-а равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует: .

Разложение функций в степенной ряд

Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х₀ – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной функции всюду внутри промежутка сходимости.

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то разложение единственно.

Разложение простейших функций по степеням х:

· показательные (2);

· тригонометрические (4);

· гиперболические (4);

· логарифмические (2);

· биномиальные ряды (6);

· обратные тригонометрические (4);

· обратные гиперболические (4).

Ряд Тейлора

Лекция 16

Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется урав­нение, содержащее производные неизвестной функ­ции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного ар­гумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение на­зывается дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обык­новенные дифференциальные уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:

F(х, у, у', у", ..., у⁽ⁿ⁾) = 0.

Порядком дифференциального уравнения называ­ется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Функция у=j(х) называется решением дифферен­циального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у=j(х).

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данно­го дифференциального уравнения. В простейших слу­чаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения на­зывают также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциально­го уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержа­щее производных, из которого данное дифференциаль­ное уравнение вытекает как следствие.