Нильпотентные конечные группы их простейшие свойства.

Определение 2.1. Конечная группа называется нильпотентной, если каждая силовская подгруппа группы нормальна в .

Определение 2.2. Конечная группа называется нильпотентной, если является прямым произведением своих силовских подгрупп.

Через обозначается множество всех конечных нильпотентных групп.

Теорема 2.1 (Свойства нильпотентных групп).

1. Если , , то .

2. Если , , то .

3. Если , , то .

4. Если , , то .

5. Если , , то .

6. Если , , то .

Доказательство.

1. Пусть , . Покажем, что .

Пусть . Покажем, что . Пусть – силовская p-подгруппа в G. Так как , то . Следовательно, по теореме 1.2.3(2), . Достаточно показать, что .

Так как – p-подгруппа группы содержится в некоторой силовской p-подгруппе группы . Покажем, что Так как по условию теоремы , то . Согласно определению 1.1.6. . С другой стороны, по теореме 1.2.11(3): любые две силовские p-подгруппы группы сопряжены, то есть, если то . Но , а, следовательно, и . Значит, если силовская p-подгруппа нормальна в группе, то она совпадает с любой силовской p-подгруппой данной группы. Можно сделать вывод, что нормальная силовская p-подгруппа единственна в группе. Тогда и (1) и (2).

С другой стороны, так как , то – группа – подгруппа группы , а по теореме 1.2.1 , где где – p-подгруппа группы .

Таким образом, , но – силовская p-подгруппа . А по (1) . Следовательно , и .

2. Пусть , . Покажем, что то

Пусть . Так как , то , причем по теореме 1.2.12(2) . Тогда .

3. Пусть , , . Покажем, что .

Пусть , . Так как и , то , , причем , так как . Пусть . Покажем, что . Для этого необходимо показать, что . Так как и , то по теореме 1.2.3(3) достаточно показать, что . Покажем, что . То есть, покажем что . Так как , достаточно показать, что , где по определению 1.1.14 . Для этого достаточно показать, что , .

По условию теоремы и (4). По теореме 1.2.9(1) перестановочны поэлементно . Значит, и так как , то . Таким образом, (5). Из (4) и (5) . Следовательно, . Аналогично можно показать, что . Из доказанного следует, что . По теореме 1.2.2 . Так как , где , поскольку – силовские p-подгруппы. Значит По доказанному, .

4. Пусть , . Покажем, что .

По теореме 1.2.10 , где . Так как , , а по свойству изоморфных групп .

5. Пусть , . Покажем, что .

Пусть Так как , то . Так как , то , где , а значит . Таким образом, , а по лемме 1.2.2(1) , .

6. Пусть , . Покажем, что .

Допустим, что – контрпример минимального порядка, то есть , , но , причем – группа наименьшего порядка с таким свойством.

Рассмотрим . Так как , , то . Возможны 2 случая:

а) Пусть По лемме 1.2.1(1) , а значит, существует . Так как , то , то по теореме о соответствии . По следствию 1.2.1 , но так как , то . Получено противоречие.

б) Пусть . Тогда, . По лемме 1.2.1 так как , то . Так как , то . Таким образом, . По условию , а по доказанному . Получено противоречие.

Из пунктов а) и б) следует, что контрпримера не существует. Следовательно, теорема верна для любой .

Теорема 2.2. 1. Если – неединичная нильпотентная группа, то центр и .

2. В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отличная от своего нормализатора.

3. В нильпотентной группе – пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром группы отлично от единицы и .