Простейшие свойства сходящихся рядов

Глава 9. Числовые ряды

Определения

Пусть дана последовательность вещественных чисел . Образуем новую последовательность по правилу

; ; ; … ; .

Эти величины называются частными суммамичислового ряда, а слагаемое называют общим членомряда.

Рассмотрим теперь . Он называется числовым рядоми обозначается символом

.

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину А, называют суммойчислового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится(так как в данной главе других рядов не будет, то слово «числовой» мы будем опускать).

Обратите внимание на одну деталь: индекс суммирования в знаке бесконечной суммы может быть любым, то есть

,

от этого ничего не меняется. Как говорят, индекс суммирования является немым индексом,то есть он может быть обозначен любой буквой.

Величина

называется остатком ряда после n-го слагаемого.Его можно записать и так:

.

Простейшие свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Доказательство.

Имеем:

- частная сумма исходного ряда и

- частная сумма остатка ряда после п-го слагаемого. Очевидно, что между этими величинами имеет место соотношение

Если ряд сходится Þ Þ Þ остаток ряда после п-го слагаемого.

Далее, , и поэтому

Если сходится остаток ряда после п-го слагаемого Þ Þ Þ исходный ряд сходится.

Обратите внимание на важное для дальнейшего соотношение .

Следствие. Отбрасывание или изменение конечногочисла членов ряда не изменяет его сходимости.

2. Если ряд сходится, то .

Действительно, из соотношения получаем

.

3. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Действительно, из определения частных сумм легко видеть, что . Поэтому

Следствие. (важно!)Признак расходимостиряда.

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

4. Если ряд сходится, то ряд тоже сходится и верно соотношение

. Действительно, для частных сумм наших рядов имеем

;

Делая предельный переход , получаем

.

5. Если ряды и сходятся, то ряд тоже сходится и верно соотношение

.

Действительно, из определения частных сумм рядов получаем

; ; .

Отсюда видно, что между частными суммами рядов верно соотношение

.

Признак сходимости Коши.

Пусть существует . Тогда

если с < 1, то ряд сходится;

если с > 1, то ряд расходится;

если с = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака.

Этот признак сходимости носит название признака Коши.

Прежде, чем доказывать признак Коши рассмотрим ряд , который называется геометрической прогрессией. Его частные суммы равны

.

Рассмотрим теперь возможные варианты.

1. Пусть . Тогда и поэтому и ряд сходится.

2. Пусть . Тогда общий член ряда не стремится к нулю и, по признаку расходимости, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при .

А теперь

Доказательство.

Прежде всего заметим, что существование означает, что

.

А теперь - варианты.

1. Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд сходится, и, по теореме 2, сходится и ряд .

2. Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд расходится, и, по теореме 2, расходится и ряд . <

Теорема 3. Если "п выполнено условие , тоиз сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А - расходимость ряда В.

Доказательство.

Имеем следующую цепочку неравенств

; ; ; … .

Перемножая эти неравенства, получаем

, или .

Ссылка на теорему 2 и доказывает эту теорему. <

Признак Даламбера

Пусть существует . Тогда

если D < 1, то ряд сходится;

если D > 1, то ряд расходится;

если D = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть рншен на основании данного признака.

Доказательство.

Прежде всего заметим, что существование означает, что

.

1. Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд сходится, и, по теореме 3, сходится и ряд .

2. . Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд расходится, и, по теореме 3, расходится и ряд . <

Теорема 4. Пусть существует и . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

1. Прежде всего отметим, что существование означает, что

.

2. Пусть ряд сходится. Но тогда ряд также сходится, и, так как , то, по теореме 2, сходится и ряд .

3. Так как , то всегда можно взять e настолько малым, чтобы было . Пусть теперь ряд сходится. Но тогда сходится и ряд и, так как , то, по теореме 2, сходится и ряд . <

Гармонический ряд

Ряд

называется гармоническим рядом.

Теорема. Гармонический ряд сходится при и расходится при .

Доказательство.

Рассмотрим варианты.

1. .

В этом случае гармонический ряд принимает вид

.

Рассмотрим группу слагаемых следующего вида:

.

Очевидно, что в этой группе всего п слагаемых и самым маленьким является последнее слагаемое. Поэтому

.

Теперь в ряде сгруппируем слагаемые следующим образом

.

Группа соответствует п = 2, группа - п = 4 и т.д. Но тогда

и поэтому , то есть ряд расходится.

2. .

Но в этом случае , и поэтому , то есть , и поэтому в этом случае ряд расходится.

3. .

В этом случае и . Рассмотрим группу слагаемых вида

.

В этой группе п слагаемых и каждое из них меньше . Поэтому имеем

.

Теперь сгруппируем в гармоническом ряде слагаемые в группы

.

Группа соответствует п = 2 и поэтому не превосходит ; Группа соответствует п = 4 и поэтому не превосходит ; последующая группа не превосходит и т.д.

Окончательно получим

.

Но стоящий в скобках ряд есть геометрическая прогрессия с ; поэтому он сходится и, по теореме 2, сходится и ряд . <

Следствие. Пусть существует . Тогда при ряд сходится, а при - расходится.

Доказательство. Рассмотрим ряд с . Тогда при выполнении условия сходятся или расходятся одновременно (см. теорему 4). <

Заметим, что это не означает, что сходимость любого ряда можно выяснить с помощью этого признака. Например, для ряда при любом и следствие не работает.

Интегральный признак Коши

Отсутствие универсального ряда для построения признака сходимости не означает, конечно, что не может быть других принципов для построения признаков сходимости числовых рядов. ниже будет разобран достаточно оригинальный признак сходимости, называемый интегральным признаком Коши.

Пусть функция

1. определена на промежутке ;

2. монотонно убывает и .

Рассмотрим ряд вида , то есть слагаемые этого ряда имеют вид .

Теорема. При указанных выше ограничениях ряд сходится одновременно с несобственным интегралом .

Доказательство.

1. Основное неравенство.

Обозначим . Так как , то . далее имеем

.

В силу монотонного убывания

,

и поэтому в данном случае

.

Это неравенство мы условно будем называть основным неравенством.

2. Пусть интеграл сходится. Это значит, что . Но тогда имеем

.

Переходя к пределу , получаем, что , откуда и следует, что ряд сходится. Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке: сумма площадей прямоугольников, каждый из которых равен одному слагаемому ряда, меньше площади, ограниченной функцией и осью абсцисс.

3. Пусть ряд сходится.

Тогда имеем

,

то есть .

Переходя к пределу , получаем, что , откуда и следует, что интеграл сходится. Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке: площадь, ограниченная функцией и осью абсцисс, меньше суммы площадей прямоугольников, каждый из которых равен одному слагаемому ряда. <

Знакопеременные ряды

Пусть имеется последовательность чисел , такая, что . Ряд

называется знакопеременным рядом.

Признак Лейбница. Если , то ряд сходится.

Доказательство.

Рассмотрим следующую частную сумму изучаемого ряда

с чётныминдексом 2m. Ее можно записать двояко. Записывая ее в форме

и вспоминая, что монотонно убывают,получаем,что все слагаемые положительны и поэтому монотонно возрастают с ростом m. С другой стороны, записывая эту же частную сумму в виде

,

так как все выражения, стоящие в скобках, опять-таки положительны. Поэтому, по теореме о пределе монотонно возрастающей последовательности, существует конечный .

Рассмотрим теперь частные суммы знакопеременного ряда с нечетным индексом.Имеем

.

Но тогда

.

Поэтому вообще и ряд сходится. <

Признак Дирихле

Пусть

1. Все частные суммы ряда ограничены, то есть ;

2. .

Тогда ряд сходится.

Доказательство.

1. Согласно первому ограничению мы имеем

Пусть

.

Тогда .

2. Þ .

3. Считая, что , , а также, что и используем преобразование Абеля. Получаем (вначале особых пояснений не требуется):

(делаем преобразование Абеля)

И тут наступает самый тонкий момент вывода. Вспомним, что, согласно ограничению 2, монотонно убывают. Поэтому все разности вида отрицательны,то есть . В силу этого

,

и, продолжая прерванный вывод, получим:

.

Но e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <

Следствие. Если ,то сходятся ряды (при ) и (при любых х).

Доказательство.

Пусть . Начнем с известной со школы формулы

.

Имеем

k = 1: ;

k = 2: ;

k = 3: ;

……………..

k = n: .

Складывая все эти равенства, получим:

.

Теперь мы имеем очень интересную формулу

.

Но тогда

,

если , то есть, если . По признаку Дирихле, при ряд сходится.

Для ряда все выкладки совершенно аналогичны, надо только начинать с формулы

.

Условие можно убрать, так как при и сумма ряда просто равна нулю.

Признак Абеля. Если ряд сходится (не обязательно абсолютно!), а последовательность чисел монотонна и ограничена, то ряд сходится.

Доказательство.

1. Ряд сходится Þ по признаку Больцано-Коши

.

2. Последовательность чисел ограничена Þ .

3. Дальнейшие выкладки сначала полностью повторяют признак Больцано-Коши

(делаем преобразование Абеля)

С этого момента начинаются отличия. Если раньше действовала оценка , то теперь будет оценка :

В этом месте - самый тонкий момент. Согласно ограничению, последовательность чисел монотонна Þ все разности одного знака, или все положительные, или все отрицательные. Поэтому можно записать

.

Поэтому, продолжая доказательство, можно записать:

.

Заключительная фраза та же самая: e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <

Перемножение рядов

Пусть даны два ряда

(ряд А) и

(ряд В).

Как определить произведение этих рядов?

Рассмотрим бесконечную матрицу

,

составленную из всевозможных произведений вида . Нам надо сложить все элементы этой матрицы. Как это сделать? Моно, например, по диагоналям складывать

, (*)

а можно и так

,

можно еще тысячами разных способов. Но где гарантия, что все эти ряды имеют одну и ту же сумму?

Теорема Коши. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно, то их произведение, составленное из слагаемых вида , взятых в любом порядке, также сходится и имеет своей суммой .

Доказательство.

Рассмотрим ряд вида

в которое входят все комбинации типа , и рассмотрим его частную сумму

.

Пусть . Тогда

,

где , . Следовательно, ряд сходится. В силу этого ряд сходится абсолютно и поэтому его слагаемые можно располагать в любом порядке. Беря частные суммы ряда С в виде

и поэтому . <

на практике чаще всего суммируют по диагоналям бесконечной матрицы, как в (*).

Двойные ряды

Обобщением рассмотренной выше ситуации является следующая. Дана бесконечная матрица

.

Рассмотрим суммы . Рассмотрим двойной предел, когда m и n одновременно независимо друг от друга стремятся в + ¥ (более строгое определение понятия двойного предела смотрите в следующей главе):

,

который называется двойным рядом, и обозначается символом .

Кроме этого можно рассмотреть и так называемые повторные пределы, когда в + ¥ уходит сначала n, а потом т

,

или, наоборот, сначала т, а потом п

.

Они называются повторными рядами.

Теорема. Если из трех рядов

, ,

то сходятся и два остальные и верно равенство

= = .

Доказательство.

1. Пусть . Тогда очевидно, что . Но монотонно возрастает с ростом п, и, в силу ограниченности сверху, существует конечный предел .

Но также монотонно возрастает с ростом т, и также ограничена сверху. Поэтому существует и повторный предел

и ряд сходится. Совершенно аналогично показывается сходимость ряда .

2. Пусть теперь . Тогда . Но монотонно возрастают с ростом п и т, и, в силу ограниченности сверху, существует двойной предел .

3. Сравнивая полученные неравенства легко получить, что суммы всех этих трех рядов равны между собой

= = .

Но тогда ряды

, , .

Сходятся абсолютно, и, в силу этого, в них можно произвольно переставлять слагаемые, их суммы от этого не изменятся. Поэтому

= = . <

Бесконечные произведения

В заключение этой главы рассмотрим коротко достаточно экзотический раздел математического анализа - так называемые бесконечные произведения.

Определения.

Пусть имеем последовательность вещественных чисел , которые все отличны от нуля.Рассмотрим так называемые частные произведения

; ; ; … .

Предел называется бесконечным произведением. Если этот предел существует, конечен и отличен от нуля, то говорят, что бесконечное произведение сходится, в противном случае - расходится.

Величина называется остаточным произведением после п-го сомножителя.

Свойства

1. Если бесконечное произведение сходится, то " п сходится и остаточное произведение. Наоборот, если какое-то остаточное произведение сходится, то сходится и само бесконечное произведение и верна формула

Доказательство.

А) Пусть существует . Но тогда и, делая предельный переход N ® ¥, получим

.

Б) Пусть существует . Но тогда и поэтому .

2. Если бесконечное произведение сходится, то .

Действительно, и поэтому .

3. Если бесконечное произведение сходится, то .

Действительно, и поэтому .

Следствие. Если бесконечное произведение сходится, то, начиная с некоторого N, все .

Этими простейшими свойствами мы ограничимся.

Признаки сходимости

Теорема 1. для того, чтобы бесконечное произведение сходилось необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд .

Доказательство.

Имеем

; ; .

Используя непрерывность логарифмической и показательной функций, получаем:

А) Þ .

Б) Þ . <

Так как , то представим в виде . Тогда .

Теорема 2. Пусть, начиная с некоторого N, все . Тогда, для сходимости бесконечного произведения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд .

Доказательство.

Так как ,то . Далее, так как , то ряды и сходятся или расходятся одновременно. <

Теорема 3. Из сходимости рядов и следует сходимость бесконечного произведения.

Доказательство.

Примем без доказательства неравенство . Можете попытаться доказать его сами.

Далее, применяя правило Лопиталя, легко получить, что

.

Далее идет следующая цепочка следований:

Ряд сходится Þ ряд также сходится. Но так как сходится ряд , то сходится и ряд Þ бесконечное произведение сходится. <

Еще кое-что

Бесконечное произведение называется абсолютно сходящимся, если . Если ряд сходится, но , то бесконечное произведение называется неабсолютно сходящимся

В абсолютно сходящемся произведении можно как угодно переставлять сомножители - от этого оно не изменится. В неабсолютно сходящемся произведении перестановка сомножителей может изменить значение бесконечного произведения.

Глава 9. Числовые ряды

Определения

Пусть дана последовательность вещественных чисел . Образуем новую последовательность по правилу