Базисы и размерность линейного пространства.
Размерность. Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n–мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dimXn — размерность пространства Xn .
Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.
Базис.
Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, … , en X называется базисом в X , если
- система векторов e1, e2, … , en линейно независима;
- любой вектор x пространства X может быть представлен в виде
x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen. | (1) |
- Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, e2, … , en .
- Коэффициенты ξ1, ξ2, … , ξn в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.
40. Комплексные числа, основные понятия, определения.
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
- Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
a = c и b = d. |
- Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
a + c + i(b + d). |
- Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
ac – bd + i(ad + bc). |
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.
Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,
Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно
В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:
Таким образом: |
С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства ,то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
то есть как раз получается нужная формула.