Базис и размерность линейного векторного пространства

Множество векторов Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru называется линейно независимым, если равенство Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru выполняется лишь при Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru . В противном случае векторы Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru линейно зависимы и, по крайней мере, один из них (перед которым стоит скалярный множитель Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru не равный нулю) может быть выражен в виде линейной комбинации Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru остальных векторов Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru этого множества.

Понятие линейной независимости распространяется на бесконечные системы векторов. Такая система называется линейно независимой, если линейно независима любая ее конечная часть.

Базис линейного векторного пространства Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru есть такое множество линейно независимых векторов Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru пространства Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , что каждый вектор Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru может быть представлен (единственным образом) в виде линейной комбинации

Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru (1.2.16)

относительно базисных векторов Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ( Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru =1, 2, …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ). Любая система линейно независимых векторов образует базис линейного векторного пространства, состоящего из всевозможных линейных комбинаций этих векторов. Число Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru называется (линейной) размерностью данного векторного пространства. Если Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru – конечное число, то пространство называют конечномерным. Бесконечномерное векторное пространство не допускает никакого конечного базиса.

В конечномерном векторном пространстве Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , порожденном Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru базисными векторами:

a) каждое множество из Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru линейно независимых векторов является базисом;

b) никакое множество из Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru векторов не является базисом;

c) каждое множество из Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru векторов необходимо линейно зависимо.

Упорядоченная совокупность чисел Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru в представлении (1.2.16) вектора Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru линейной комбинацией базисных векторов является координатами (единственными) этого вектора в системе координат (системе отсчета), определяемой базисными векторами Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru : Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru = Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru . Вектор Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru + Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru имеет координаты Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , а вектор Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ruБазис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ( Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru =1, 2, …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ).

Из каждой линейно независимой системы векторов можно построить путем линейных комбинаций (процессом ортогонализации) систему попарно ортогональных единичных векторов Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , обладающую свойствами:

Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru (1.2.17)

Такую систему векторов называют ортонормированной (ортогональной нормированной) системой. В конечномерном унитарном векторном пространстве размерности Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru каждая ортонормированная система из Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru векторов образует базис этого пространства (ортонормированный базис). В ортонормированном базисе базисные единичные вектора имеют координаты: Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , …, Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru .

Конечномерные действительные унитарные векторные пространства называются евклидовыми векторными пространствами(обозначение Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , где Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru – размерность пространства). В предыдущей лекции 1.2.1 были рассмотрены векторы в обычном трехмерном пространстве (в пространстве Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ). Система базисных единичных векторов Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru образует ортонормированный базис этого пространства. Множество векторов на обычной плоскости представляют евклидово пространство Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru .

Пример. Рассмотрим множество матриц – столбцов Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru размера Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru. Сравнение определенных ранее линейных операций сложения матриц и умножения матриц на число (скаляр) с определяющими свойствами линейного векторного пространства позволяет сделать вывод, что множество матриц – столбцов образует векторное пространство, в котором в качестве векторов выступают эти матрицы. Это векторное пространство становится унитарным, если в нем определить скалярное произведение двух матриц – столбцов (векторов) Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ( Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ) и Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ( Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ) как Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , где символом Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru обозначена операция транспонирования матрицы, а произведение находится по правилу умножения матриц. Это пространство является и нормированным, т. к. позволяет ввести норму матрицы – столбца Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru (вектора Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ) формулой Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru .

Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ,

Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ,

Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru , Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ,

Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru ( Базис и размерность линейного векторного пространства - student2.ru – квадратная матрица).

Наши рекомендации