Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства

…Векторы Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru …, Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru (из которых по меньшей мере одно отлично от нуля), такие, что

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru (*)

в противном случае (т.е. когда таких чисел не существует) векторы называются линейно независимыми; другими словами, векторы линейно независимы, если равенство (*) выполняется лишь при Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Множество линейно независимых векторов называется базисом. Число векторов в базисе называется размерностью.

Пример 10.Показать, что векторы Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru образуют базис линейного векторного пространства и найти разложение вектора d в этом базисе:

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Решение.Векторы Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru образуют базис тогда, когда выполнится условие

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru при условии, что Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

решая эту систему, получим, что Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru значит Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru образуют базис. Найдем разложение вектора Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru базисе Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Решая эту систему, получаем: х = 80, у = -62, Z = - 16, а вместе с этим и разложение вектора Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Итак, координаты вектора Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru в базисе Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru равны 80, -62, -16.

Пример 11.По координатам точек найти: А(-5; 1; 6), В(1; 4; 3), С(6; 3; 9)

а) модель вектора Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru = Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru = Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

б) скалярное произведение векторов

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

в) проекцию вектора Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru на вектор Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

пр Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

г) координаты точки Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru делящей отрезок Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru в отношении 1 : 3;

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Следовательно:

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru (см. замечание)

Замечание! Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru . Найти координаты точки М, делящей отрезок Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru в отношении Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

По определению Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru где Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru величины направленных отрезков Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru оси, проходящей через точки Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru поэтому Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru = Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Координаты точки М находятся по формулам

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

В частности, координаты середины отрезка определяются формулами

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Задача.Предприятие производит изделия Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru За рассматриваемый промежуток времени плановый выпуск характеризуется вектором х = (10; 7; 4). Для изготовления изделий используется сырье Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru и Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru В таблице приведены нормы расхода сырья на единицу каждого изделия. Вектор С = (7; 4; 5; 10; 2) задает стоимость единицы сырья каждого вида, а вектор Т = (3; 2; 3; 6; 3) – стоимость перевозки единицы сырья каждого вида.

№ п/п Изделие Расход сырья
Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru
Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru
Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru
Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

1. Сколько единиц сырья каждого вида потребуется для выполнения плана?

2. Установить стоимость сырья, расходуемого на единицу изделия каждого вида.

3. Определить стоимость сырья, необходимого для выполнения плана.

4. Найти стоимость всего сырья с учетом его транспортировки.

Решение.Обозначим через А матрицу норм расхода сырья на единицу каждого изделия:

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru через у – матрицу строку (вектор), характеризующую количество сырья каждого вида, требуемого для выполнения плана, тогда у = Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Проведем вычисления:

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru .

Теперь можно вычислить стоимость сырья, расходуемого на единицу изделия i –го вида, обозначив ее матрицей-столбцом z = Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Þ

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Таким образом, стоимость единицы изделия задается матрицей

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Z = (184; 161; 160) Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Следовательно, стоимость всего сырья, необходимого для выполнения плана, можно вычислить по формуле

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Для того, чтобы вычислить стоимость всего сырья с учетом его транспортировки, посчитаем сначала, во что обойдется его транспортировка, используя формулу

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Следовательно, все расходы составят: Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Задача.

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

4.1. Пределы. Основные формулы

1. Свойства пределов

1) Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru (f(x) ± j(x))= Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru f(x) ± Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru j(x)

2) Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru (f(x) · j(x))= Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

3) Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru c · f(x) = c · Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru f(x) где с = const

4) Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru (f (x))n = ( Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru f (x))n

5) Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru = Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

2. Первый замечательный предел Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

в частности Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства - student2.ru

Наши рекомендации