Базис и размерность линейного пространства

Определение. Базисом линейного пространства называется линейно независимая система векторов из такая, что любой вектор из пространства можнопредставить в виде линейной комбинации векторов .

Определение. Размерностью линейного пространства называ­ется количество векторов в базисе этого пространства. Обо­значается .

Утверждение. Базисом линейного пространства решений одно­родной системы является ее фундаментальная система реше­ний.

Утверждение. Rⁿ=n.

Примеры

1. Образуют ли базис в пространстве R³ векторы

?

Решение. По определению базис составляют линейно независимые векторы. Линейная зависимость (или независимость) определяется исходя из анализа равенства нулю линейной комбинации этих векторов:

.

Последнее векторное уравнение после записи его по компонентам представляет собой систему трёх однородных уравнений относительно . Согласно схеме исследования линейной зависимости векторов (см. пример 1 из раздела «Линейная зависимость и независимость векторов») вычислим определитель матрицы, составленной из координат векторов

Определитель системы равен нулю, следовательно, она имеет нетривиальное решение и это означает, что исходная группа векторов линейно зависима и не образует базис в R³.

2. Найти размерность и один из базисов линейного пространства решений однородной системы:

Решение. Представленная система состоит из трёх уравнений и содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, сначала поменяв местами строки 1 и 2, а затем вычитая новую первую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно из второй и третьей строк :

Видно что ранг матрицы равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, а три - свободными. Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных . Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид

Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение

Или иначе:

.

Фундаментальная совокупность решений, составленная в соответствии с изложенным алгоритмом (см. пример 4 в разделе «Системы линейных алгебраических уравнений»), является базисом линейного пространства решений исходной системы и в данном случае имеет вид

Размерность искомого пространства равна 3.

Задачи

3.19. Является ли базисом пространства R³ система векторов:

а) , , ;

б) , ;

в) , , , .

3.20. Найти размерность и базис пространства решений однород­ной системы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

3.21. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства всех векторов, выходящих из начала координат и:

а) лежащих на прямой ;

б) перпендикулярных прямой ;

в) лежащих в плоскости ;

г) перпендикулярных плоскости .

3.22. Вектор разложить по базису , .

3.23. Данный вектор разложить по указанному базису :

а) , , , ;

б) , , , .

3.24. Дополнить до какого-либо базиса соответствующего пространства Rⁿ систему:

а) , ;

б) , , ;

в) , .

3.25. При каких значениях параметра векторы образуют базис пространства R³:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , .

3.26. Найти размерность и указать какой-либо базис простран­ства:

а) многочленов степени не выше n;

б) квадратных матриц порядка n;

в) прямоугольных матриц размера ;

г) симметричных матриц порядкаn;

д) диагональных матриц порядкаn.

3.27. Доказать, что система образует базис

пространства многочленов степени не выше n.

3.28. Найти размерность и указать какой-либо базис про­странства положительных чисел, в котором сумма произ­вольных чисел и вычисляется как , а произведение вещественного числа на произвольное положительное число вычисляется как .

Координаты вектора

Определение. Координатами вектора в базисе назы­ваются числа , при которых выполняется равенство .

Определение. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица вида

где для каждого в -ом столбце стоят координаты вектора в базисе .

Утверждение. Координаты вектора в базисе и координаты этого же вектора в базисе связаны равенством

где - матрица перехода от базиса к базису .

Утверждение. Матрица перехода от базиса к бази­су и матрица обратного перехода от базиса к базису связаны равенством = .

Примеры

1. Найти координаты вектора в базисе , если известно

Решение. В соответствии с определением матрица перехода от базиса к базису есть

.

Обозначим координаты вектора в базисе через , а в базисе через . Искомые координаты связаны с известными координатами следующим соотношением:

.

Видно, что для получения координат необходимо вычислить матрицу, обратную . Используя стандартную процедуру (см. пример 1 из подраздела «Обратная матрица»), имеем

.

Вычислим теперь координаты : .

3. Найти матрицу перехода от базиса к базису по

данным разложениям этих векторов в базисе :

.

Решение. Чтобы построить матрицу перехода от базиса к базису , необходимо найти разложение векторов по базису . Сделаем это, представив в виде разложения по с неизвестными координатами, которые требуется определить:

,

или с учётом вида этих векторов в базисе

.

Откуда для координат имеем

Теперь, зная разложение по , выпишем матрицу :

.

Задачи

3.29. Найти координаты вектора в базисе , если извест­ны следующие разложения по базисам и :

а) , , ;

б) , , , .

3.30. Пользуясь определением, найти координаты вектора в указанном базисе :

а) , , ;

б) , , , ;

3.31. Построить матрицу перехода от базиса к базису и матрицу обратного перехода, если векторы в базисе имеют координаты

а) , ;

б) , , .

3.32. Найти матрицу перехода

а) от базиса к базису ;

б) от базиса к базису .

3.33. Дана матрица перехода

=

от базиса к базису . Найти координаты вектора

а) в базисе ; б) в базисе ;

в) в базисе ; г) в базисе ;

д) в базисе ; е) в базисе .

3.34. Используя матрицу перехода от базиса к базису, найти ко­ординаты вектора в базисе , если в базисе

а) , , ;

б) , , , .

3.35. Построить матрицу перехода от базиса к базису по данным разложениям векторов и в базисе :

а) , , , ;

б) , , , , , .

3.36. Построить матрицу перехода от базиса , к базису , и матрицу обратного перехода .

3.37. Построить матрицу перехода от базиса к базису в пространстве многочленов степени не выше .

3.38. В пространстве многочленов степени не выше найти разложение вектора по базису .