Возрастание и убывание ф-ции

Теорема: 1. Если функция f(x) имеющая производную на отрезке [а;b] возрастает (убывает) на этом отрезке, то f’(x) >= 0 ( f(x) <=0)

2. Если функция f(x) не прерывна на отрезке [a,b] и диф-ма на интервале (a,b) и если f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ия f(x) возрастает (убывает) на отрезке [a;b].

Доказательство:

1.Пусть ф-ия f(x) возрастает на отрезке [a;b]. Дадим перемен х приращение ∆х. Тогда ф-ия f(x) получит приращение ∆y = f(x+∆x)-f(x). Рассмотрим отношение:

Если ∆x>0, то ∆y>0 – ф-ия возрастает.

Если ∆х<0 , то ∆y<0- ф-ия убывает.

В любом случае

И тогда в последнем неравенстве, переходя к пределу при ∆х→0 имеем:

, т. е. f’(x)>=0 и т. д.

Аналогично можно показать, что если f(x) убывает, то f’(x)<=0.

2. Пусть f’(x)>0. Поскольку ф-ия f(x) дифференцируема, то к ней применима теорема Лоранжа.

f(x2) –f(x1) = f’(ξ) (x2-x1) ξ – кси

Поэтому, если f’(ξ)>0, то при x2 > x1 – f(x2 –x1), а при x2 < x1 – f(x2) < f(x1), т.е. f(x) возрастает.

Аналогично можно показать, что если f’(x) < 0, то f(x) убывает.

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл:

Для возрастающей функции касательная к его графику образует острый угол α с положительным направлением оси Ох. Тогда f’(x) = tg α >0. Либо в некоторых точках касательная параллельна оси Ох α=0 f’(x) = tg 0 = 0 f’(x)>0.

Если ф-ия f(x) убывает, то касательная к ее графику образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, либо к некот точкам оси Ох, тогда α=0.

В обоих случаях f’(x)= tg α = 0.

28.классич.опр-ние вер-стей.Непосред.подсчёт вер-стей