Вычисление площади плоских фигур

Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычисляется площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и прямыми , по формуле

.

1.29). Найти площадь, ограниченную параболой и прямой .

Решение. Решая систему данных уравнений, находим абсциссы двух точек пересечения прямой и параболы : . По приведенной выше формуле

.

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл)

Пусть функция непрерывна на промежутке . Интеграл по бесконечному промежутку называется несобственным интегралом первого рода. Для вычисления этого интеграла используется формула .

Интеграл называется сходящимся, если в вышеуказанной формуле существует конечный предел , в противном случае этот интеграл называется расходящимся.

Аналогично, и

, где .

1.30). Исследовать на сходимость и, если интеграл сходится, вычислить .

По определению несобственного интеграла первого рода

. Таким образом, данный интеграл расходится.

1.31). Вычислить интеграл или установить его расходимость.

По определению . В случае и при

, т.е. существует конечный предел, значит, интеграл сходится и

. В случае и при , . Таким образом, в этом случае интеграл расходится.

Задания для самостоятельного решения

1.50 – 1.63. Вычислить интегралы.

1.64. – 1.70. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.

1.71. – 1.77. Вычислить интегралы или установить их расходимость.

1.50. . 1.57. . 1.64. . 1.71. .

1.51. . 1.58. . 1.65. . 1.72. .

1.52. . 1.59. . 1.66. . 1.73. .

1.53. . 1.60. . 1.67. . 1.74. .

1.54. . 1.61. . 1.68. . 1.75. .

1.55. . 1.62. . 1.69. . 1.76. .

1.56. . 1.63. . 1.70. . 1.77. .

Ответы.

1.50. . 1.57. . 1.64. 10,67. 1.71. Расходится.

1.51. 1. 1.58. . 1.65. . 1.72. 1.

1.52. . 1.59. 1,57. 1.66. 1,23. 1.73. .

1.53. 2,01. 1.60. 0,57 . 1.67. 29,87. 1.74. Расходится.

1.54. 0, 33. 1.61. 1,57. 1.68. 0,50. 1.75. .

1.55. 1, 50. 1.62. -0, 25. 1.69. 2, 67. 1.76. Расходится.

1.56. 0,50. 1.63. 0,21. 1.70. 0,75. 1.77. .

Контрольная работа № 1. Интегрирование.

1.- 8. Вычислить неопределенные интегралы.

9. Вычислить определенный интеграл.

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Вариант 1.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Вариант 2.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Вариант 3.

1. .2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Вариант 4.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Вариант 5.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. . 8. . 9. . 10. .

Вариант 6.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

Вариант 7.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. . 9. . 10. .

Вариант 8.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. . 9. . 10. .

Вариант 9.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 10.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 11.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 12.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 13.

. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 14.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10 .

Вариант 15.

1. . 2. . 3. . 4. . 5.

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 16.

1. . 2. . 3. . 4. .5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 17.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 18.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. . 9. .10. ,

Вариант 19.

1. . 2. . 3. . 4. .5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 20.

1. . 2. . 3. . 4. .5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 21.

1. . 2. . 3. . 4. .5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 22.

1. . 2. . 3. . 4. .5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 23.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 24.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. . 9. . 10. .

Вариант 25.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 26.

1. . 2. . 3. . 4. .5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 27.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. .7. .8. .9. .10. .

Вариант 28.

1. . 2. . 3. .4. .5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 29.

1. . 2. . 3. . 4. .5. .

6. .7. .8. . 9. .10. .

Вариант 30.

1. . 2. . 3. .4. .5. .

6. .7. .8. .9. .10.

2. Функции нескольких переменных

2.1. Основные определения

Если каждой точке из некоторого подмножества пространства по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие единственное значение переменной из множества , то говорят, что задана функция нескольких переменных ( переменных): . Подмножество называется областью определения этой функции, а - множеством ее значений.

Например, - функция двух переменных, - функция трех переменных. В этом разделе будут рассмотрены некоторые из понятий дифференциального исчисления функций двух переменных: .

Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , таких, что и . Таким образом, график представляет собой поверхность - множество точек с координатами в пространстве .

2.1). Найти область определения функции . Существование этой функции обеспечивает условие , т.е. . Таким образом, областью определения данной функции является внутренность круга с центром в начале координат и радиусом 1.

Для построения поверхности – графика функции используется метод сечений этой поверхности плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. системой плоскостей , где произвольное число . Пересечение поверхности с плоскостью определяется равенством .

Линией уровняфункции двух переменных называется множество точек плоскости , удовлетворяющих равенству . Число здесь называют уровнем. Итак, для точек, принадлежащих одной линии уровня, функция принимает одно и то же значение, равное .

2.2). Найти линии уровня функции . Построить ее график. Линии уровня данной функции определяются уравнениями , где . Эти уравнения описывают множество концентрических окружностей в плоскости с общим центром в начале координат с радиусами . График этой функции представляет собой поверхность , называемую параболоидом.

Число называется пределом функции в точке ( ), если для любого сколь угодно малого положительного числа ( ) найдется такое положительное число ( ), что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние меньшее, чем (такое множество точек называется -окрестностью точки : ) , выполняется неравенство . Если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка стремится к точке .

2.3). .

2.4). . Например, при , т.е., если точка стремится к точке по прямой , предел равен . Если же , т.е. точка стремится к точке по прямой . В этом случае предел оказывается равен . Итак, предел в этом примере не существует, так как при стремлении точки к точке по различным путям, он получается различным.

Функция называется непрерывной в точке , если

1. функция определена в точке и в некоторой ее окрестности,
2. существует конечный предел при стремлении точки к точке произвольным образом,
3. .

Функция разрывна в точке , если нарушено хотя бы одно из условий 1., 2., 3.

Функция непрерывная в любой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

2.5). Функция определена во всех точках плоскости , но не в точке , поэтому разрывна в этой точке. В остальных точках плоскости она непрерывна.

2.6). Функция разрывна в точке , так как не имеет предела в этой точке.

2.7). Функция разрывна в точке , поскольку .

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то

a) она в этой области ограничена, т.е. существует число ( ) такое, что для всех точек выполняется неравенство ,

b) в области имеются точки, в которых функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений.

2.2.Частные производные функции двух переменных. Полный дифференциал.

Рассмотрим функцию . Пусть - область ее определения. Зафиксируем точку . Придадим аргументам и приращения и соответственно. При этом . Тогда разности и

называются частными приращениями функции по переменным и соответственно, а разность - ее полным приращением.

Частными производными функции по переменным и называются следующие пределы разностных отношений .

Значение частной производной функции зависит от точки , в которой она вычисляется, т.е. сама по себе частная производная является функцией точки . Формулы и правила, используемые при вычислении производной функции одной переменной, справедливы также и для частных производных функции двух переменных. Главное в процессе вычисления частной производной функции по одной из ее переменных – помнить, что другая переменная при этом считается постоянной.

2.8). Вычислить частные производные функции .

, .

Частные производные, как функции тех же переменных, тоже в свою очередь могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

, , , ,

Смешанные производные и равны между собой, если они являются непрерывными функциями.

2.9). Вычислить частные производные второго порядка функции .

Пользуясь уже имеющимися в примере 36) частными производными первого порядка, получаем , , ,

. Как видим, .

Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быт представлено в виде , где

и при . Главная линейная часть полного приращения функции называется ее полным дифференциалом , с учетом того, что для независимых переменных и .

2.10). Полный дифференциал функции записываем, следуя формуле

2.3.Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция определена в некоторой области . Точка , - некоторое направление (вектор с началом в точке М), задаваемое единичным вектором (ортом)

, где и - косинусы углов, образуемых вектором с осями координат, называемые направляющими косинусами. При перемещении из точки в точку по направлению функция получает приращение

, называемое приращением функции в данном направлении . Пусть - величина перемещения. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции по направлению и обозначается , или . Итак, . Производная характеризует изменения функции в направлении . При заданных направляющих косинусах производная по направлению вычисляется по формуле .

Градиентом функции в точке называется вектор , координаты которого равны соответствующим частным производным и , вычисленным в точке . Т.е. , или . Градиент, это вектор, указывающий направление наибольшего роста функции.

2.11). Вычислить производную функции в точке по направлению .

Найдем длину вектора : . Тогда . Таким образом, единичный орт вектора имеет координаты . Используя частные производные и , запишем производную по направлению в произвольной точке : . Итак, в точке эта производная оказывается равной .

2.12). Вычислить градиент функции в точке .

Градиент этой функции в произвольной точке выглядит так . В данной точке .

2.4.Экстремум функции двух переменных.