Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1: пусть даны два знакоположительных ряда и . Если для всех n выполняется неравенство u_n≤v_n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости следует расходимость ряда .

Доказательство 1: обозначим n-е частичные суммы рядов и соответственно через S^(u)_n и S^(v)_n. Из неравенства u_n≤v_n следует, что S^(u)_n ≤ S^(v)_n. Пусть ряд и сходится и его сумма равна S₂. Тогда = S₂.Члены ряда положительны, поэтому S^(v)_n< S₂ и, следовательно, с учетом неравенства S^(u)_n ≤ S^(v)_n, S^(u)_n ≤ S₂. Таким образом, последовательность S^(u)₁, S^(u)₂, S^(u)_n,… монотонно возрастает (u_n>0) и ограниченно сверху числом S₂. По признаку существования предела последовательность {S^(u)_n}имеет придел =S₁, т.е. ряд сходится. Пусть теперь ряд расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем =∞. Тогда, с учетом неравенства S^(u)_n ≤ S^(v)_n, получаем =∞, т.е. ряд расходится.

Теорема 2 (предельный признак сравнения): пусть даны два знакоположительных ряда и . Если существует конечный, отличный от 0, предел =A (0<A<∞), то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство 2: по определению предела последовательности для все n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого ε>0 выполняется неравенство |u_n/v_n-A|<ε, или (А-ε)v_n<u_n<(A+ε)v_n. Если ряд сходится, то из левого неравенства (А-ε)v_n<u_n<(A+ε)v_n и теоремы 1 вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов, ряд сходится. Если ряд расходится, то из правого неравенства (А-ε)v_n<u_n<(A+ε)v_n, теоремы 1, свойства 1, вытекает, что и ряд расходится. Аналогично, если ряд сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд .

Признак Даламбера.

Теорема: пусть дан ряд =u₁+u₂+…+u_n+… с положительными членами и существует
конечный или бесконечный предел =ℓ. Тогда ряд сходится при ℓ<1 и расходится при ℓ>1.

Так как =ℓ, то по определению предела для любого ε>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется нера-
венство |u_n+1/u_n-ℓ|<ε или ℓ-ε<u_n+1/u_n<ℓ+ε.

Пусть ℓ<1. Можно подобрать ε так, что число ℓ+ε<1. Обозначи
м ℓ+ε=q, q<1. Тогда из правой части неравенства |u_n+1/u_n-ℓ|<ε или ℓ-ε<u_n+1/u_n<ℓ+ε получим u_n+1/u_n<
q, или u_n+1/<qu_n,n>N. В силу свойства 3 числовых рядов
можно считать, что u_n+1/<
qu_n
для всех n = 1,2,3,... Давая номеру n
эти значения, получим серию неравенств, т.е. члены ряда u₂+u₃+u₄+…+u_n+… меньше соответствующих членов ряда qu₁+q²u₁+q³u₁+…+qⁿ⁺¹u₁+…, который сходится как ряд геометрической прогресии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд u₂+u₃+u₄+…+u_n+…, следовательно сходится и исходный ряд =u₁+u₂+…+u_n+…

Пусть ℓ>1. В этом случае =ℓ>1. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство u_n+1/u_n>1, или u_n+1>u_n, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому ≠0. На основании следствия из необходимого признака ряд =u₁+u₂+…+u_n+… расходится.

Замечания: 1. Если ℓ=1, то ряд =u₁+u₂+…+u_n+… может быть как сходящимся, так и расходящимся. 2. Признак Даламбера целесообразен применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или aⁿ.