Свойства операции умножения матриц

Линейная алгебра

Основные определения

Определение. Матрицейразмера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij ± bij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Свойства операции умножения матриц - student2.ru

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Пример. Даны матрицы А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru ; B = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , найти 2А + В.

2А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , 2А + В = Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулеваяматрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Пример. Найти произведение матриц А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru и В = Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

АВ = Свойства операции умножения матриц - student2.ru × Свойства операции умножения матриц - student2.ru = Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

ВА = Свойства операции умножения матриц - student2.ru × Свойства операции умножения матриц - student2.ru = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А= Свойства операции умножения матриц - student2.ru , В = Свойства операции умножения матриц - student2.ru

АВ = Свойства операции умножения матриц - student2.ru × Свойства операции умножения матриц - student2.ru = Свойства операции умножения матриц - student2.ru = Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

Определители (детерминанты)

Определение. Определителемквадратной матрицы А= Свойства операции умножения матриц - student2.ru называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , где

М – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A = Свойства операции умножения матриц - student2.ru

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример. Вычислить определитель матрицы А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru

Свойства операции умножения матриц - student2.ru

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , В = Свойства операции умножения матриц - student2.ru . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13;

det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ: AB = Свойства операции умножения матриц - student2.ru ,

det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 – 152 = -26.

Миноры

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется миноромматрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение.Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается А-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ Свойства операции умножения матриц - student2.ru , i=(1,n), j=(1,n),

eij = 0, i ¹ j,

eij = 1, i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

Свойства операции умножения матриц - student2.ru ,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , найти А-1.

Свойства операции умножения матриц - student2.ru

Свойства операции умножения матриц - student2.ru Свойства операции умножения матриц - student2.ru

Таким образом, А-1= Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

Свойства операции умножения матриц - student2.ru ,

где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2

Таким образом, А-1= Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

Пример. Дана матрица А = Свойства операции умножения матриц - student2.ru , найти А3.

А2 = АА = Свойства операции умножения матриц - student2.ru Свойства операции умножения матриц - student2.ru = Свойства операции умножения матриц - student2.ru ; A3 = Свойства операции умножения матриц - student2.ru Свойства операции умножения матриц - student2.ru = Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

Отметим, что матрицы Свойства операции умножения матриц - student2.ru и Свойства операции умножения матриц - student2.ru являются перестановочными.

Пример. Вычислить определитель Свойства операции умножения матриц - student2.ru .

Свойства операции умножения матриц - student2.ru = -1 Свойства операции умножения матриц - student2.ru

Свойства операции умножения матриц - student2.ru = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

Свойства операции умножения матриц - student2.ru = Свойства операции умножения матриц - student2.ru = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

Свойства операции умножения матриц - student2.ru = Свойства операции умножения матриц - student2.ru = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Базисный минор матрицы

Ранг матрицы

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангомматрицы и обозначается Rg А.

Пример. Определить ранг матрицы.

Свойства операции умножения матриц - student2.ru ~ Свойства операции умножения матриц - student2.ru ~ Свойства операции умножения матриц - student2.ru , Свойства операции умножения матриц - student2.ru RgA = 2.

Пример: Определить ранг матрицы.

Свойства операции умножения матриц - student2.ru ~ Свойства операции умножения матриц - student2.ru ~ Свойства операции умножения матриц - student2.ru ~ Свойства операции умножения матриц - student2.ru , Свойства операции умножения матриц - student2.ru Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

Свойства операции умножения матриц - student2.ru ~ Свойства операции умножения матриц - student2.ru , Свойства операции умножения матриц - student2.ru Þ Rg = 2.

Наши рекомендации