Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

Стремится к нулю при : .

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru сходится Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru . Обратное неверно. Пример – гармонический ряд.

Доказательство. Если , то и , но , следовательно .

С проверки выполнения условия Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ruнадо начинать решение любой задачи на исследование сходимости ряда: если это условие не выполняется, то ряд заведомо расходится. Это условие необходимо, но не достаточно для сходимости ряда: общий член гармонического ряда (18.1.2) Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , однако этот ряд расходится.

Введём понятие остатка ряда.

Определение. Остатком ряда (18.2.1) после n-го члена называется ряд Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

18.1.2.2. Если сходится ряд (18.2.1), то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Доказательство. Пусть Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru - частичные суммы ряда (18.2.1); обозначим k-ую частичную сумму остатка Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru : Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru . Тогда Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru . Устремим Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , считая n фиксированным числом. Ряд (18.2.1) сходится, т.е. существует конечный Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , следовательно существует конечный предел Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , т.е. остаток сходится. Обратное утверждение доказывается также. Так как Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , то из существования конечного предела Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru следует существование конечного предела Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , т.е. из сходимости остатка следует сходимость ряда.

Житейский вывод из этого свойства: отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или добавление в его начало нескольких новых членов не влияет на сходимость ряда.

18.1.2.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

Доказательство. Пусть S - сумма исходного ряда (18.2.1), Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru - сумма его остатка. Из равенства Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru следует Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , т.е. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru . Отсюда Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

Здесь тоже можно сделать житейский вывод. Из предыдущего свойства следует, что сходимость ряда определяется сходимостью его остатка, т.е. хвостом ряда, а сумма S ряда, как следует из равенства Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , определяется пределом Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , т.е. началом ряда.

18.1.2.4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

Доказательство. Частичная сумма ряда Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru есть Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru ; по свойству предела Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

18.1.2.5. Два сходящихся ряда Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru и Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru можно почленно складывать и вычитать; ряд Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru также сходится, и его сумма равна Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

Доказательство и этого свойства - прямое следствие свойств пределов для частичных сумм: Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

18.1.3. Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами: Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru для Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru . Для таких рядов частичная сумма Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru является возрастающей функцией аргумента n. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, поэтому сразу сформулируем признак сходимости положительных рядов:

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

В случае, когда последовательность частичных сумм положительного ряда неограничена, будем говорить, что его сумма равна Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

При доказательстве расходимости гармонического ряда мы, по существу, доказали, что последовательность его частичных сумм неограничена. В качестве другого примера прямого применения этого признака рассмотрим ряд Дирихле (или обобщённый гармонический ряд)

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru . (18.3.1)

Если s<1, то Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , и, так как частичные суммы Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru неограничены, то суммы Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru и подавно неограничены, т.е. при s<1 ряд (18.3.1) расходится. Пусть теперь s>1. Как и для гармонического ряда сгруппируем члены в частичной сумме по степеням числа 2: Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru …+ Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru .

Структура каждой скобки: Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru , поэтому Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru (мы воспользовались формулой для частичной суммы геометрической прогрессии). Последовательность ограничена; ряд сходится.

Итак, ряд Дирихле (18.3.1) сходится при s>1, расходится при s Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена. - student2.ru 1. Дальше мы дадим более простое доказательство этого факта, основанное на интегральном признаке Коши.

Наши рекомендации