Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулеваяматрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированнойматрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = свойства операции умножения матриц. - student2.ru ; В = АТ= свойства операции умножения матриц. - student2.ru ;

другими словами, bji = aij.

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)T = CTBTAT,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = свойства операции умножения матриц. - student2.ru , В = свойства операции умножения матриц. - student2.ru , С = свойства операции умножения матриц. - student2.ru и число a = 2. Найти АТВ+aС.

AT = свойства операции умножения матриц. - student2.ru ; ATB = свойства операции умножения матриц. - student2.ru × свойства операции умножения матриц. - student2.ru = свойства операции умножения матриц. - student2.ru = свойства операции умножения матриц. - student2.ru ;

aC = свойства операции умножения матриц. - student2.ru ; АТВ+aС = свойства операции умножения матриц. - student2.ru + свойства операции умножения матриц. - student2.ru = свойства операции умножения матриц. - student2.ru .

Пример. Найти произведение матриц А = свойства операции умножения матриц. - student2.ru и В = свойства операции умножения матриц. - student2.ru .

АВ = свойства операции умножения матриц. - student2.ru × свойства операции умножения матриц. - student2.ru = свойства операции умножения матриц. - student2.ru .

ВА = свойства операции умножения матриц. - student2.ru × свойства операции умножения матриц. - student2.ru = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А= свойства операции умножения матриц. - student2.ru , В = свойства операции умножения матриц. - student2.ru

АВ = свойства операции умножения матриц. - student2.ru × свойства операции умножения матриц. - student2.ru = свойства операции умножения матриц. - student2.ru = свойства операции умножения матриц. - student2.ru .

ТЕМА 2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Определителемквадратной матрицы А= свойства операции умножения матриц. - student2.ru называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

свойства операции умножения матриц. - student2.ru

det A = свойства операции умножения матриц. - student2.ru , где

М – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

свойства операции умножения матриц. - student2.ru Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A = свойства операции умножения матриц. - student2.ru

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

свойства операции умножения матриц. - student2.ru

detA = свойства операции умножения матриц. - student2.ru , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det AT;

Свойство 2. det (AB) = detA×detB

Свойство 3.Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 ± d2 , e = e1 ± e2 , f = f1 ± f2 , то верно:

свойства операции умножения матриц. - student2.ru

Пример. Вычислить определитель матрицы А = свойства операции умножения матриц. - student2.ru

свойства операции умножения матриц. - student2.ru

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = свойства операции умножения матриц. - student2.ru , В = свойства операции умножения матриц. - student2.ru . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ: AB = свойства операции умножения матриц. - student2.ru , det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 –

– 152 = -26.

Наши рекомендации