Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

А – матрица, Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru - элемент матрицы, Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru номер строки, в которой стоит данный элемент, Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение.Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru = E,

называетсяединичной матрицей.

Операции над матрицами:

Сложение (вычитание) матриц – складывать (вычитать) по элементам и только над матрицами одинаковой размерности.

Например:

Сложить матрицы Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru и Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

2) Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Умножение матрицы на число , произведение.

Пример:

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Умножение матриц.

mxnи nxq, называется матрица размерности mxq.

Количество столбцов 1-ой матрицы должно совпадать с количеством строк 2-ой матрицы.

Умножение происходит таким образом, берется 1 строка 1-ой матрицы и умножается на 1 столбец 2-ой матрицы, далее 1 строка 1-ой матрицы умножается на 2 столбец 2-ой матрицы и т.д и получится 1 строка НОВОЙ МАТРИЦЫ.

Пример:

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Свойства умножения матриц:

· 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

· 2.некоммутативность (в общем случае): AB Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru BA;

· 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

· 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB)

Коммуникативность:

Умножение матриц не коммуникативно, и даже в том случае, когда матрицы квадратные все равно Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru , например имеется 2 матрицы Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru и Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru результатом умножения матрицы А на матрицу Bбудет матрица Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru , а если мы матрицу Bумножим на матрицу А получится Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru . Множество квадратный матриц mxn замкнуто относительно умножения

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru . Множество матриц nxm обладают мультипликативной единицей Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru ,

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru , Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru . Действительно, если перемножить матрицу Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru и Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru , то получим Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru => Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Ассоциативность:

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Вопрос 3. Определители. Теорема Лапласа. Свойства определителей.

Определитель– это число, которое считается по определенному правилу.

Минор – это определитель, составленный из первоночального определителя, путем вычеркивания k-строк и k- любых столбцов.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

1)Определитель можно посчитать только у квадратной матрицы.

2) Определитель матрицы |An|=An

3)Определитель матрицы Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

5) Для вычисления матрицы 3x3 существует правило треугольников (Правило Саррюса)

Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru

Если дана матрица Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru , то ее определитель обозначают Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru или греческой Вопрос 2.Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций. - student2.ru .

Наши рекомендации