Ряд Фурье для произвольного отрезка

Для разложения функции f(x) на отрезке [–p; p] в ряд Фурье

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru

для коэффициентов Фурье были получены формулы

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru ,

справедливые для функций, имеющих период 2p.

Теория рядов Фурье легко переносится и на случай периодических функций с любым периодом 2l. Найдем выражение тригонометрического ряда Фурье и формулы коэффициентов Фурье для периодической функции с периодом 2l, считая, что функция f(x) удовлетворяет всем условиям Дирихле на отрезке [–l, l].

Сделаем замену переменной по формуле

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

Тогда функция f(x) = Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru будет периодической функцией с периодом 2p, которую можно разложить в ряд Фурье на отрезке [–p; p]. Итак,

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru , (5)

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru (6)

Возвращаемся к "старой" переменной х

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru

Подставляя это в формулы (5) и (6) получим:

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru , (7)

где

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru (8)

Формулы (7) и (8) дают разложение функции f(x)с периодом 2l в ряд Фурье на отрезке [–l;l].

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Формулы для коэффициентов Эйлера значительно упрощаются, если f(x) - четная или нечетная функция. Выведем сначала некоторые формулы, необходимые для дальнейших вычислений.

а) Пусть j(x) – четная функция на отрезке [–l; l], т. е. j(-х) = j(х).

Тогда Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

Сделав в первом интеграле правой части замену:

x = - t Þ dx = - dt; Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru получим:

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

б) Пусть j(x) – нечетная функция на отрезке [–l; l], т. е. j(-х) = – j(х).

Тогда

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru = (замена, как и в первом интеграле)

= Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

Итак, для четных функций Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru ,

для нечетных функций Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru . (9)

Используем эти результаты при вычислении коэффициентов Фурье.

а) Для четных функций.

Пусть f(x) – четная функция на отрезке [–l, l].

Тогда Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru – тоже четная функция, а Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru – нечетная функция. Значит, используя (9), получим:

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru (10)

Таким образом, в разложении четных функций в ряд Фурье "останутся только косинусы":

f(–x) = f(x) Þ f(x) = Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

б) Для нечетных функций.

Пусть f(x) – нечетная функция на отрезке [– Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru ; Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru ], тогда Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru – тоже нечетная функция, а Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru – четная функция (как произведение двух нечетных функций). Значит, используя (10), получим:

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru (11)

Тогда в разложении нечетной функции в ряд Фурье "останутся только синусы":

f(–x) = – f(x) Þ f(x) = Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

Примеры разложения

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |x| на отрезке [–p; p].

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru Решение.

Так как |x| – четная функция, используем формулы (10):

bn = 0, Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru ,

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru

Тогда ряд Фурье примет вид Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru или

 
  Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru . График ряда изображен на рис.

 
  Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой имеет вид:

Решение.

Так как f(x) – нечетная функция, используем формулы (11):

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru ,

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

Т.о., при четных n получим bn = 0, а для нечетных n будем иметь:

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

Тогда ряд Фурье примет вид

Ряд Фурье для произвольного отрезка - student2.ru .

Отметим еще раз, что равенство функции и полученного ряда выполняется только там, где f(x) непрерывна. В точках разрыва полученный ряд сходится к полусумме односторонних пределов, в данном случае к числу 0.

Наши рекомендации